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 ■c de z, et si, dans le voisinage des valeurs c, C des deux variables z, Z, 

 le premier membre de l'équation (i) reste fonction monodrome et mouogène 

 de ces variables, Z sera, pour des valeurs de z très-voisines de c, fonction 

 monodrome et monogène de z, à moins que z = c ne soit une racine mul- 

 tiple de l'équation (i). 



» A ce théorème, énoncé par M. Puiseux, on peut joindre un théorème 

 analogue relatif au cas où plusieurs fonctions d'une variable sont détermi- 

 nées par le système de plusieurs équations finies, dont chacune exprime l'é- 

 galité de deux fonctions monodromes et monogènes des diverses variables. 



» Si l'une des quantités c, C,... devenait infinie, alors à la variable z ou 

 Z on substituerait le rapport variable - ou -=•••• 



» Si, dans chacune des équations données, les deux membres n'étaient 

 pas monodromes et monogènes, il suffirait ordinairement, pour les rendre 

 tels, d'augmenter, comme je l'ai dit ailleurs, le nombre des variables. 



d Si, pour z = c, plusieurs racines z de l'équation (i) deviennent égales 

 entre elles, et si l'on nomme m l'ordre de la substitution qui indique com- 

 ment les racines s'échangent entre elles, quand, z différant très-peu de c, on 

 fait tourner autour du point dont l'affixe est c le point dont l'affixe est z, 

 alors il suffira généralement de poser 



(2) z-c = u m , 



pourvu que chaque racine devienne une fonction monodrome et mono- 

 gène de u. 



» Les théorèmes sur l'énumération des racines que j'ai donnée en i83i, 

 s'appliquent non-seulement aux équations algébriques, mais aussi aux équa- 

 tions transcendantes, et peuvent servir à déterminer le nombre des racines 

 de ces dernières, entre des limites données. 



» Concevons, pour fixer les idées, que 



(3) Z = F(<, z) 

 étant une fonction synectique de t et z, on pose 



z = x +j\, z = X + Yi, 



x, y, X, Y étant réelles, et que l'on demande le nombre n des racines de 

 l'équation 



(4) F(«,*) = °> 



comprises entre des limites données, par exemple, le nombre des points 

 dont chacun, renfermé dans une certaine aire S, a pour affixe une racine z 



