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 de l'équation (4)- Le nombre n sera donné par la formule 



le résidu intégral qu'indique le signe ç) étant relatif au contour de l'aire S; 



et si, tandis que cette aire s'étend indéfiniment dans tous les sens autour du 

 pôle, le second membre de la formule (5) devient infiniment grand, le 

 nombre total des racines sera infini. D'ailleurs la détermination de n pourra 

 devenir facile, si l'on a choisi convenablement le contour. 

 » Ainsi, par exemple, si l'équation (4) se réduit à 



(6) z-e z = t, 

 ou bien à 



(7) z — êsin z = £, 



é étant un nombre donné, on facilitera notablement la détermination de n 

 en réduisant le contour de l'aire S au périmètre d'un rectangle dont les 

 côtés soient les uns parallèles, les autres perpendiculaires à l'axe polaire. 

 Quand ces côtés seront très-éloignés du pôle, la valeur de n sera très- 

 grande, mais facile à calculer. 



» Le nombre des racines de l'équation (4) varie avec le nombre des ra- 

 cines de l'équation dérivée 



(8) T> z F(t, z) = o, 



à laquelle deux racines z de l'équation (4) doivent satisfaire, quand ces deux 

 racines deviennent égales entre elles. Quand la fonction synectique F[t,z) 

 est une fonction entière de z, le degré de cette fonction surpasse d'une 

 unité le degré de sa dérivée. Je rechercherai dans un autre article comment 

 se modifie l'énoncé de cette dernière proposition quand on l'applique à 

 une équation transcendante. 



§ III. — Sur les fondions implicites déterminées par des systèmes d'équations 



différentielles. 



» Comme je l'ai remarqué depuis longtemps, quand on veut intégrer un 

 système d'équations différentielles, on doit commencer par réduire ces équa- 

 tions au premier ordre, ce qu'on peut toujours faire lorsque les équations 

 renferment des dérivées d'ordre supérieur, en considérant quelques-unes 

 de ces dérivées comme de nouvelles inconnues. La réduction dont il s'agit 



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