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algébrique ou transcendante, si l'on substitue à ces quantités variables 

 les lettres par lesquelles on les avait d'abord remplacées, et l'on obtiendra 

 ainsi ce que nous appellerons une fonction symbolique algébrique ou 

 transcendante. Toutefois, cette fonction ne pourra pas être appliquée sans 

 restriction, comme facteur symbolique, à un multiplicande quelconque s, 

 quelles que soient les valeurs attribuées aux variables indépendantes com- 

 prises dans ce multiplicande; et, le plus ordinairement, il faudra renfermer 

 ces valeurs entre certaines limites, pour qu'il soit permis de multiplier s par 

 la fonction symbolique. 



» Les fonctions symboliques, telles que je viens de les définir, ont déjà 

 été introduites par les géomètres dans quelques formules de haute analyse. 

 L'usage habituel de ces fonctions dans les calculs différentiel et intégral 

 offrirait de grands avantages, mais ces avantages seraient contre-balancés 

 par de graves inconvénients, si l'on ne commençait par déterminer les con- 

 ditions de convergence des séries symboliques, ou, ce qui revient au même, 

 par rechercher dans quel cas on peut à un multiplicande donné appliquer 

 une fonction symbolique donnée algébrique ou transcendante. 



» J'ai déjà, dans le Mémoire lithographie de i835, traité cette ques- 

 tion, en m'appuyant pour la résoudre sur une formulç générale que j'a- 

 vais donnée dans le Mémoire du 1 1 octobre i83i . Mais il m'a semblé qu'on 

 pouvait simplifier et perfectionner encore, même après les travaux récents 

 de quelques géomètres sur des sujets analogues, les résultats auxquels j'a- 

 vais été conduit. Comme, parmi les fonctions transcendantes, les exponen- 

 tielles sont celles qui reparaissent le plus souvent dans l'analyse, il était 

 naturel de considérer spécialement les exponentielles symboliques, et de 

 rechercher avec soin leur nature, leurs propriétés et les conditions de con- 

 vergence des séries symboliques dont elles représentent les sommes. Ces 

 motifs ont dû m' engager à fixer particulièrement sur ces exponentielles 

 l'attention du lecteur. 



ANALYSE. 



§ I. — Produits symboliques. 



» Soit s une fonction donnée d'une ou de plusieurs variables indépen- 

 dantes. Pour indiquer les différentielles totales et partielles de s, je joindrai 

 à la notation de Leibnitz celle dont je me suis constamment servi dans mes 

 Leçons à l'École Polytechnique. En conséquence, j'indiquerai la différen- 

 tielle totale par la lettre caractéristique d, et les différentielles partielles 

 relatives aux variables x, y,z, etc., par cette même lettre au bas de la- 

 as.. 



