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 D'ailleurs, en vertu des principes établis dans le précédent Mémoire, si les 

 fonctions de t, x, y, z,..., représentées par 



(i4) *,x,r,z, ... 



sont monodromes et monogènes dans le voisinage des valeurs t, x, y, z,..., 

 primitivement attribuées aux variables t, x,y, z,..., la série (i3) sera con- 

 vergente, tant que le module de t — t ne dépassera pas une certaine limite 

 supérieure, correspondante à l'une des trois limites que nous avons cal- 

 culées (page 270); et l'on peut ajouter qu'alors les valeurs de x, y, z,..., 

 données par les formules (1 1) vérifieront certainement les équations (3). 

 Pour le démontrer, nous commencerons par établir les propositions sui- 

 vantes : 



» Théorème III. Supposons que les fonctions 



X, F, Z,..., 



soient monodromes et monogènes dans le voisinage des valeurs t, x, y, z,..., 

 primitivement attribuées aux variables t y x, y, z,..., et concevons que la 

 lettre caractéristique d appliquée à une fonction de £, t, x, y, z,..., indique 

 une différentiation relative à la variable t . Alors n étant un nombre entier 

 quelconque, les valeurs des différentielles 



d"x, d" y, d n z,..., 



tirées des formules (1 1), se réduiront, quand on posera t = t, aux produits 



V n xdl n , T}"ydt n , v n zdf,.,.. 



Démonstration. En effet, comme on aura par exemple, en vertu de la 

 première des formules (1 1), 



(ié) 



il est clair que le coefficient de dt*, dans la valeur de d"x, se réduira pour 

 t — t au facteur multiplié dans le second membre de la formule (i5) par 



. (t — t) n , , ,. 

 le rapport -, c est-a-dire a 



1 » 1 .i...n 



» Théorème IF. La fonction s étant supposée, ainsi que X, F, Z,..., mo- 

 nodrome et monogène dans le voisinage des valeurs t, x, y, z,..., primiti- 

 vement attribuées aux variables t, x, y, z,..., et s étant ce que devient s 

 quand on attribue à ces variables leurs valeurs primitives, si l'on substituer 

 à ^, y, z,--> dans la fonction s, les seconds membres des formules (.n). 



