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cette fonction différentiée par rapport à t fournira une différentielle ds qui 

 se réduira au produit 



Vscfe. 



» Démonstration. En effet, on aura, dans l'hypothèse admise, 



(16) ds = T) t sdt + D x sdx -+- D x sdy ■+■ T> z sdz-h .... 



D'ailleurs, pour t = t, les différentielles 



dx, dy, dz,..., 



se réduiront, en vertu du II e théorème, aux produits 



Vxdt, Vycfe, Vzdl,..., 



par conséquent, aux produits 



Xdt, Ydt, Zdt,..., 



tandis que les diverses dérivées de s relatives aux variahles t, x, y, z, ... , 

 savoir 



IV, D^-j, T) x s, T) z s,..., 



se réduiront aux diverses dérivées de s relatives à t, x, y, z, . . . , c'est-à- 

 dire à 



D,s, D„s, D y s, D,s, .... 



Donc pour t = t, la différentielle ds se réduira au produit 



(D t s + XD x s-(-YD J s-f-ZD,s + ...)dt 



qui peut être présenté sous la forme 



Vsefe. 



» Théorème V. Les mêmes choses étant posées que dans le théo- 

 rème IV, si l'on désigne par 



«, v, w, ... 



divers facteurs dont chacun soit ou une différentielle de x, ou de y, on 

 de z, ..., relative à t, cette différentielle pouvant d'ailleurs être d'un ordre 

 quelconque, ou bien encore une fonction donnée d'une ou de plusieurs des 

 variables t, x, y, z, ... ; alors, en considérant x, y, z, ... comme des fonc- 

 tions de t déterminées parles formules (r i), et nommant 



u, v, w, ... 

 ce que deviennent « 



", v, w, ..., 



