( 5o5 ) 

 quand on réduit t à t, on aura, pour t = t, 



d{uvw ...) = V (u\w... )dt. 

 » Démonstration. En effet, on aura identiquement, d'une part, 



, , . (du dv dw \ 



(, 7 ) d(uviv...) = uvw...(j+ 7 + — -t- ...j; 



d'autre part, 



(18) V (uvw...) = uvw... ( v + V + V + ""j' 



On aura, par exemple, si les facteurs se réduisent à deux, d'une part, 



d(uv) = udv ■+■ vdu, 



d'autre part, 



V (uv) = uVv -+- vVu. 



Cela posé, comme en vertu des théorèmes III et IV les différentielles 



du, dv, dw... 

 se réduiront, pour t = t, aux produits 



Vudt, Vvdt, Vvtdt,..., 



il est clair qu'en prenant t = t on réduira l'expression (17) au produit de 

 l'expression (18) par la différentielle dt. 



» Corollaire. Concevons maintenant que l'on représente par S, non plus 

 le produit uvw ..., mais une somme de produits de cette espèce, et par S ce 

 que devient S quand on pose t = t. Le théorème V, étant applicable à cha- 

 cun des produits dont l'addition fournira la somme S, pourra être appliqué 

 à cette somme elle-même. En conséquence, la différentielle 



dS 

 se réduira, pour t = t, au produit 



VSdt. 

 D'ailleurs la différentielle 



ds, 

 déterminée par l'équation (16), et les différentielles 



d*s, d 3 s,..., 



déterminées par des équations du même genre, sont précisément de la 

 forme ici indiquée par la lettre S. Donc, puisque ds se réduit, pour t = t, 

 au produit Vsdt, la différentielle du second ordre d 2 s se réduira, pour 



C. R., i856, 2 me Semestre. (T. XLIII, N° 10.; 65 



