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 t = t, au produit 



par suite aussi la différentielle du troisième ordre d 3 s se réduira, pour 

 t = t, au produit 



V(V-sch*)clt = V 3 sf// 3 ,..., 



et l'on pourra énoncer généralement la proposition suivante : 



» Théorème VI. Les mêmes choses étant posées que dans le théo- 

 rème IV, si l'on désigne par n un nomhre entier quelconque, la différen- 

 tielle d"s se réduira, pour t = t, au produit 



Vsdt". 



» Du théorème 1 er joint au théorème VI, on déduit immédiatement celui 

 que nous allons énoncer : 



» Théorème VII. Les mêmes choses étant posées que dans le théo- 

 rème IV, lorsqu'on substituera dans s, à la place de x,y, z,. .., les seconds 

 membres des formules (m), on trouvera, pour une valeur de t suffisam- 

 ment rapprochée de t, 

 (10) i = e ( '-" v s. 



» Corollaire. Si, dans la formule (10), on prend successivement pour s 

 les diverses fonctions 



X, Y, Z,..., 

 on obtiendra les formules 



(19) X^eC-^X, r=ë'-^Y, Z = e"- t > v Z,.... 



D'ailleurs la première des formules (1 1), ou, ce qui revient au même, l'équa- 

 tion (i5) donne 



D t x = V x + ~ v 2 x + ^=^-' v 8 x + • • ■ , 

 ou, ce qui revient au même, 



D t x=X + — V X + Éi=iîVx+ ... = e"~"vX. 

 1 v 1 .2 v 



Donc, eu égard à la première des formules (19), on aura 



D t x = X, 

 et l'on se trouvera ainsi ramené à la première des équations (3). On pourra 

 pareillement de la seconde ou de la troisième... des formules (11) déduire 

 la seconde ou la troisième... des équations (3); et l'on arrivera ainsi défi- 

 nitivement au théorème que nous allons énoncer : 



