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» Théorème VIII. Les mêmes choses étant posées que dans le théo- 

 rème IV, les valeurs de x, y, z,... données par les formules (i i) vérifieront 

 les équations (3). 



» En vertu du théorème VIII, si l'on applique l'intégration définie aux 

 équations (3), en assujettissant les inconnues x,j-, z,... à prendre pour 

 t = t les valeurs particulières x, y, z,..., les intégrales que l'on obtiendra, 

 et qui détermineront les valeurs générales des inconnues quand t sera peu 

 différent de t, seront précisément les formules (i i). Ajoutons que les valeurs 

 de x, y, z,... données par ces formules continueront de représenter les 

 intégrales dont il s'agit et de vérifier les équations (3) tant que le module 

 de la différence t — t ne deviendra pas assez considérable pour que les 

 séries dont les seconds membres des formules (8) représentent les sommes 

 cessent d'être convergentes. 



» Si l'on considère la valeur de s fournie par la formule (io), ou, ce qui 

 revient au même, par la suivante : 



(20) f=SH v s + - L V 2 S~\-..., 



K ' I I .2 Y 



non plus comme une fonction de t , mais comme une fonction de t, x, y, z,..., 

 cette fonction vérifiera évidemment la condition 



(ai) ys=o, 



c'est-à-dîre l'équation aux dérivées partielles 



(2a) T> t s + XD X J -t- YD y .î -+- ZD z s -+-...= o. 



D'ailleurs la différentielle totale des considérée comme fonction de t, x, y,... 



sera 



(a3) ds = Dt-sdt + D x jdx + D y ^dy ■+■ D z sdz -h 



Donc, eu égard à l'équation (aa), cette différentielle pourra être réduite à 

 la forme 



(a4) ds = D x> y(dx - Xdt) + D y ^(dy - Ydt) +D z s (dz - Zdt) +.... 



» La formule (a4) fournit du théorème VIII une seconde démonstra- 

 tion qui est moins directe que la première, mais pourtant digne d'attention, 

 et que nous allons indiquer en peu de mots. 



» L'intégration définie des équations (3), qui sont du premier ordre par 

 rapport aux variables 



'» x t y-* z vm 



consiste à déduire d'un système de valeurs simultanément attribuées à ces 



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