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 variables un autre système de valeurs correspondantes de ces mêmes va- 

 riables. Supposons le premier système exprimé à l'aide des lettres ro- 

 maines 



t, x, y, z,..., 



et le second à l'aide des lettres italiques 



'» x i Jfi z i — 

 Si l'on donne, non plus le premier système, mais le second, alors t, x,j, 

 z,... devront être supposées constantes, et t, x, y, z,..., devenues variables, 

 devront vérifier non les équations (3), mais les équations (4). Donc, pour 

 effectuer l'intégration définie, on devra ou intégrer les équations (3) entre 

 t, x, y, z v -., supposées variables de manière que, pour t = t, on ait 



fc = x, jr = y, z = z,... f 



ou intégrer les équations (4) entre t, x, y, z,.. ., supposées variables, de ma- 

 nière que, pour t = t, on ait 



x = x, y=y, z = z ,.... 



Dans la dernière hypothèse, t, x, y, z, . . . étant regardées comme constantes, 



on devra aussi considérer comme constante une fonction s de t, x, y, z, 



Donc l'équation (24), à laquelle satisfait la valeur de s déduite des for- 

 mulesfi 1) fournies par l'intégration définie des équations (3), devra se véri- 

 fier, en même temps que les équations (4), si l'on y suppose s constante, et 

 par suite 

 (a5) ds es o. 



Or effectivement cette supposition réduit la formule (24) à la suivante : 



(26) D,j(dx - Xdt) + D y ^(dy — Ydt) + D z s (dz - Zdt) 4- . . . = o, 



qu'entraînent avec elles les équations (4)- 11 y a plus : on établira sans 

 peine la proposition suivante : 



» Théorème IX. Si l'on veut intégrer les équations (4), qui sont du 

 premier ordre entre les variables t, x, y, z,..., de manière que, pour une 

 valeur donnée t de la variable indépendante t, les inconnues x, y, z, ... 

 acquièrent elles-mêmes des valeurs données x, y, s,..., et vérifient en 

 conséquence les conditions 



x=zx, y = 7, z = z,..., 



il suffira d'assujettir t, x, y, z,... considérées comme variables à vérifier les 

 formules (11). 



