(6*7 ) 



manières, que les séries 



i i i 



1 + TTk + âw3 + • • • + 



2(/2)'+* ^ 3(/3) ,+ * 



I I 



+ ...+ 



I+* 



I 



I 



2/2(//2)'+* 3/3(«3)'+* 



«/* (//»)'+* 



sont convergentes lorsque A: est positif, divergentes si k est nul ou né- 

 gatif. 



» De ce théorème, dû à M. Bertrand, on conclut immédiatement les 

 règles, ou plutôt les conditions de convergence suivantes, applicables à 

 toute série : 



« ( + « 2 + . . . + a s + . . . , 



dont les termes sont positifs, du moins à partir d'une certaine valeur de n. 

 Ces conditions, qui probablement ne diffèrent pas, au fond, des règles 

 données par M. Bertrand, ont, sur celles-ci, l'avantage d'une forme plus 

 mnémotechnique. Peut-être aussi sont-elles plus facilement applicables. 



» Les conditions nécessaires n'exigent aucune explication (*). La pre- 

 mière des conditions suffisantes peut être énoncée ainsi : 



» Le produit nu„ ayant pour limite zéro, on le multipliera par n k . Si, 

 pour une valeur suffisamment petite, mais positive, de l'exposant k, le 

 nouveau produit tend vers une limite finie A, la série proposée sera con- 

 vergente. 



(*) Il est sous-entendu que lim«„ = o. 



80. 



