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» Si le produit nu„.n h devient infini avec n, quelque petit que soit k, 

 on ne pourra décider encore si la série est convergente ou divergente. On 

 passera donc à la deuxième condition nécessaire; et ainsi de suite. 



» II. Sur la série harmonique. — On sait que 



(,) l + I + ^ + ... + i =: /„_ ?( „ ) = c, 



<p(«) s'annulant quand n devient infini, et C représentant une constante 

 dont la valeur, calculée par Euler et Masclieroni, est 



G = 0,577 2(5 ^4 901 53a 860 



En remplaçant lu par 



n — 1 n — 2 1 ' 



on a 



» 



Soit 



j ?( „ ) = c- I +( ( ;-:) + ( ( 5_.) + ... + ( / _i T _i). 



/ n l 



u„ = l 



" n — 1 n 



il en résulte 



puis 



~« e ^ 



m 

 1 — 



(3) 9 (n) = C - 1 + Jf * (1 - ~) [<r* - «-)• 



» Cela posé, en appliquant mot à mot la méthode employée par M. Lieu- 

 ville dans sa Note sur l'évaluation du produit 1 . 1 . 3. . , x, on trouve 



(4) ?(»)>- ^' ?(")<-^ + T^ ; 

 et, par conséquent, 



(A) - + - + 4 +... + -</« + ~ -t- c, 



v ' 12 3 n in 



(B) T + î + ^--- + i> + / "^--^ + C - 



Les formules (A) et (B) donnent ainsi deux limites entre lesquelles est 

 comprise la somme S„ des n premiers termes de la série harmonique. Si 



