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» Théorème I er Soit u„ le terme général, supposé réel et positif, de la 

 s érie 



(i) r/ , u,, u 2 , u 3 , ...; 



cette série sera convergente si u„ est de l'une des formes 



(, 2 ) —m > ~~r. — — > 



k étant positif, et A„ s'approchant indéfiniment pour des valeurs croissantes 

 de n, d'une limite finie A. 



» Ce théorème ei le théorème cité de M. Bertrand peuvent être évidem- 

 ment remplacés par la proposition suivante : 



» Théorème II. Si, N étant l'un des rapports 



la,, \{nu a ) \(n\n.u n ) 



(3) 



In Un 



N s'approche indéfiniment, pour des valeurs croissantes de n, d'une cer- 

 taine limite h, la série dont le terme général est u„ sera convergente quand 

 h sera négatif, divergente quand h sera positif. 



» D'ailleurs, dans un Mémoire que renferme le Journal de M. Crelle 

 (tome XLII, année 1 85 1 ), M. Paucker observe que le II e théorème et une 

 règle de M. de Morgan, avec laquelle ce théorème s'accorde, sont une con- 

 séquence très-simple d'un théorème général sur la convergence des séries 

 nue M. Cauchj a donné depuis longtemps dans son Analyse algébrique. 



» Effectivement la limite vers laquelle converge la première des expres- 

 sions (3), pour des valeurs croissantes de n, n'est autre chose que le loga- 

 rithme du module de la série (i). Or, en vertu du théorème énoncé à la 

 page i32 de Y analyse algébrique, publiée en i8ai, et reproduit à la 

 page 38g du III e volume des Exercices d Anal j se et de Physique mathé- 

 matique, la série (i) sera convergente si son module est inférieur à l'unité, 

 ou, en d'autres termes, si le logarithme de ce module est négatif; divergente, 

 si le même module est supérieur à l'unité, ou, en d'autres termes, si le loga- 

 rithme de ce module est positif. 



» D'autre part, en vertu du théorème énoncé à la page 1 35 de l'Analyse 

 algébrique, si, u„ étant positif et «„ +) < u„, on prend 



(4) V n =1 n U 2 »_ i , W n — 2 n (V-(,---> 



les séries qui auront pour termes généraux les quantités 



( 5 ) "/!, Vnt W, 



m 



