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 équations de degré premier [Voir le Journal de Mathématiques , t. XI, 



p. 4 2 9)- 



» 2. Une équation irréductible de degré quelconque m sera soluble par 

 radicaux, si une certaine fonction rationnelle de ses m racines 



*y» *y» *y» ty% ivt 



""•0 1 ■* I » ~,i ,1 ' " ' . J*T 2 ' ,n— ' ' 



invariable par les substitutions linéaires qui changent 



.r* en x aA+ j, 



a une valeur exprimable rationnellement au moyen des coefficients de 

 cette équation ; les indices sont pris suivant le module m, b est quelconque 

 et a un nombre quelconque premier avec ;n, ou, si l'on veut, un résidu 

 quelconque de m. 



» 5. Si l'on applique le théorème précédent à une équation de degré i J , 

 la fonction des racines dont la valeur serait rationnelle demeure invariable 

 par un nombre de substitutions égal à a 2 * -1 et l'équation peut se résoudre 

 géométriquement par v extractions de racines carrées. On obtient ainsi une 

 classe étendue des équations considérées pour la première fois par Wantzell 

 (Journal de Mathématiques, t. II, p. 366) (i). 



» 4. L'équation binôme 



0C m — I = o 



peut être résolue directement par radicaux quel que soit m, en suivant une 

 marche presque identique à celle de Gauss pour le cas où m est premier et 

 sans s'appuyer, comme on le fait ordinairement, sur la résolution d'autres 

 équations binômes de degré moins élevé. Il suffit d'observer que toutes les 

 racines de cette équation rendue irréductible, c'est-à-dire débarrassée de ses 

 diviseurs binômes (voir un Mémoire de M. Kronecker, Journal de M. Liou- 

 ville, t. XIX, p. 1 77) peuvent être représentées par la série 



%A. I — - tX, ■ iC ft ■ sAt « %A. h %Aj • ■ • ■ • 



1, a, b,. . ., étant tous les résidus de m au nombre de fi, et les indices étant 

 pris suivant le module m. Toute fonction rationnelle des racines n'est, 



(1) Dans le cas où v = 2 , on a ce théorème: Pour qu'une équation donnée irréductible 

 du quatrième degré soit soluble géométriquement, il faut que la fonction .r, x 2 -4- X3X1, qui 

 ne varie pas par huit substitutions différentes, ait une valeur rationnelle. On sait que cette 

 fonction est précisément la racine de l'équation de Ferrari du troisième degré, et qu'on 

 peut résoudre l'équation du quatrième degré au moyen de cette fonction et de l'adjonction 

 de deux radicaux carrés. 



