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comme on voit, susceptible de prendre que jx valeurs différentes, et est inva- 

 riable par les substitutions qui changent 



x k en x K j, 



a. désignant un résidu quelconque de m. Partant de là, la résolution s'effec- 

 tue sans difficulté par la méthode de Gauss généralisée par Abel. On remar- 

 quera l'analogie qui existe entre les équations binômes et celles que nous 

 avons définies plus haut, n° 2. 



» 5. Cette remarque conduit à cette nouvelle manière assez concise d'é- 

 noncer le fameux théorème de Gauss relatif à la division du cercle : Pour 

 que le cercle soit divisible par la règle et le compas en m parties égales, il faut 

 et il suffit que le nombre |x des résidus de m soit une puissance de i. 



» 6. Voici un théorème nouveau relatif aux résidus des nombres com- 

 posés et qui peut servir à résoudre diverses questions de la théorie des 

 nombres : 



» Soit i l'indicateur d'un nombre A (expression introduite par M. Cau- 

 chy) suivant le module B, c'est-à-dire supposons que/ soit le plus petit expo- 

 sant pour lequel on ait 



A'= i (mod. B), 



et soit I l'indicateur maximum relatif au module B, le nombre A sera un 



résidu de puissance ( - ) suivant le même module. 



» 7. J'ajoute aux théorèmes précédents ce théorème sur les détermi- 

 nants : 



» Soient v 2 nombres quelconques disposés en v colonnes verticales et v 

 colonnes horizontales et tels que leur déterminant soit congru à -+- i par 

 rapport au module premier/?, on ne pourra former qu'un nombre limité de 

 ces déterminants, en considérant comme identiques les tableaux dont tous 

 les nombres sont congrus entre eux par rapport à p ; le nombre total des 

 déterminants qu'on pourra former ainsi sera donné par l'expression 



M 



(/»— l)(p>—p) (/>•'—/»')■■■ (/>" — f - a) (/>» — p»-*) 



(p-l)â 



â étant le plus grand commun diviseur entre p — i et v. 



» 8. Au moyen de ce théorème, on pourra abaisser à un degré égal à ce 

 même nombre M le groupe de substitutions linéaires défini par Galois 

 {Journal de Mathématiques de M. Liouville, t. XI, p. 4i°)> dans la Lettre 

 qu'il écrivit à Chevalier la veille de sa mort. Galois a lui-même indiqué, 

 quelques lignes plus loin, cet abaissement pour le cas particulier de v = 2, 



