( ,io 9 ) 



» Si les mêmes points, partant comme précédemment du repds, sollicités 

 » par les mêmes forces, après introduction de liaisons nouvelles (L'), 

 » ajoutées à celles qui existaient déjà, prennent un nouveau mouvement 

 » dans lequel la somme des forces vives initiales soit 2 mi>\ ; 



» Quelles que soient les liaisons (L') introduites dans le système, - la 

 » somme des forces vives 2mv\ sera toujours moindre que la somme primi- 

 » tive 2mv'\, et la différence des deux sommes est précisément la somme 

 » des forces vives dues aux vitesses perdues par chaque point. » 



» Soient A un des points du système dont nous nommerons m la masse; 

 AI la vitesse qu'il prendrait sous l'influence des forces considérées, s'il était 

 libre et qu'il n'existât aucune liaison entre lui et les autres points du système; 

 AI' la vitesse qu'il prend sous l'influence des mêmes forces après l'introduc- 

 tion des liaisons (L), et enfin AI" la vitesse du même point lorsqu'on a 

 établi les liaisons (L) et (L'). Considérons le triangle AIT', nous aurons 



-2 2 



Ai' = Ai" + r i" - 2 ai' . r i" cos ai " . r i" . 



Si nous multiplions par m les deux membres de cette équation et que nous 

 fassions la somme des relations analogues pour tous les points du système, 



nous aurons 



1 



-ï 2 



Lm.Al = 2mAF + 2m IT - 2 im . AI". 1' 1". cos AI". IT. 



2 .2 2 



Or 2/raAI', 2 m Al" et 2 ml' Y représentent respectivement la somme des 

 forces vives 2 mv\, relatives au premier mouvement considéré, la somme 

 2mv\ des forces vives relatives au second mouvement, et la somme des 

 forces vives dues aux vitesses perdues; le théorème de M. Sturm sera donc 

 démontré si l'on prouve que l'on a 



2 m . Al". 1' 1". cos Al" F 1" = o. 



I'i" 

 Or — peut être considéré comme une force instantanée, susceptible 



d'être produite par les liaisons L et L' réunies : en effet, s'il n'y avait pas 



de liaisons, la vitesse acquise serait représentée en grandeur et en direction 



par AI. Sous l'influence des liaisons (L), elle devient AI', et les liaisons 



II' 

 produisent, par conséquent, la force instantanée — : de même, les liaisons 



II" 

 (L) et (L') produisent la force instantanée — ? et, par suite, les deux forces 



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