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 dernier problème se réduit lui-même très-aisément à la détermination des 

 trajectoires orthogonales d'un plan mobile, question dont j'ai donné une 

 solution très-simple dans le Compte rendu de la séance du 3i dé- 

 cembre i855. C'est ce que je me propose d'établir ici (*). 

 » Soit 



(i) {x-af + {j-bf+{z-cY = r i 



l'équation d'une sphère en coordonnées rectangulaires ; <z, b, c, r désignent 

 des fonctions d'un paramètre variable t. Les trajectoires orthogonales de 

 cette sphère mobile auront pour équations différentielles 



, . dx dy dz 



^ ' x — a y — b z — c • 



Soient a, 6, -y les angles formés avec les axes par une droite arbitraire va- 

 riable avec le paramètre t ; désignons aussi par u une nouvelle fonction de 

 t et posons 



/0 > , , cos a ,, , cosê , , cosv 



(i) da = rud > do = rud > de = rud -. — '• 



x ' u u u 



Enfin, au lieu des variables x, y, z, prenons-en trois autres x t , /,, z, telles 

 que l'on ait 



(4) • \j = b + r(^^-co^), 



- cos 7 \i 

 d'où l'on tire, en ayant égard à l'équation (1), 



u(x — a + rcossc) 

 1 [x — a)cosa + (_y — 6)cosë-4-(z — c)cosy-+-r 

 _ u{y — è-f-rcosë) 



\^ I \ 3 K (x — a)cosa-h(/ — è)cosë-f-(z — c)cosy-hr 



u(z — c + rcosy) 



[x — a)cosa-f- (y — b) cosê -+- (z — c)coS7 -+- r 



(*) M. Ossian Bonnet s'est occupé le premier de la recherche des surfaces dont il s'agit ici. 

 Mais les formules qu'il a données me paraissent trop compliquées pour qu'on puisse en tirer 

 parti ; aussi je crois faire une chose utile en publiant le résultat si simple que j'ai obtenu. On 

 verra d'ailleurs que l'analyse dont je fais usage s'applique sans difficulté au cas général, non 

 encore résolu, des surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont sphériques. 



