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 » Au moyen des équations (3) et (4) les équations (i) et (2) se rédui- 

 sent aux suivantes : 



(6) x, cosa -+- y, cosS + z, cosy = u, 



. . dx t dy t dz { 



^ ' ' cosa cosê cosy ' 



on voit que si l'on considère x, , y t , z, comme des coordonnées rectangu- 

 laires, les équations (7) appartiendront aux trajectoires orthogonales du 

 plan mobile représenté par l'équation (6). 



» Nous conserverons toutes les notations de l'article inséré au Compte 

 rendu du 3i décembre dernier. Ainsi nous désignerons par £, u, Ç, X, pi, v 

 les angles formés avec les axes par le rayon de courbure et par l'axe du 

 plan oscillateur de la trajectoire du plan (6); par ds l'angle de deux tan- 

 gentes infiniment voisines et par dt\ l'angle de deux plans osculateurs infi- 

 niment voisins. Désignant en outre par A et B deux constantes arbitraires, 

 et posant 



U = Asinyj + Bcosrj — <p (yj), 



les trajectoires orthogonales du plan (6) seront représentées par l'équa- 

 tion (6) jointe aux deux 



(8) x s cosX + y { cos/i+ z, cosv = t), 



(9) JC, COSÇ ~hj t COSU -+- Z, COSÇ = -z- • 



» Si, dans les équations (8) et (9) on remplace x { , y t , z, par leurs va- 

 leurs tirées de ( 5), on aura deux nouvelles équations qui, jointes à l'équa- 

 tion (1), feront connaître les trajectoires orthogonales de la sphère (1). 

 Enfin, si l'on exprime A et B en fonction d'un paramètre et d'une fonc- 

 tion arbitraire de ce paramètre, les mêmes trois équations représenteront 

 les surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont, situées sur des 

 sphères normales à la surface. Les équations que nous formons ainsi con- 

 tiennent seize quantités fonctions du paramètre t, savoir : a, b, c, r, 

 u ou <p(>j) et les onze angles a, ê, y; £, w, Ç; X, fj., v; z et yj. Toutes ces 

 seize quantités peuvent s'exprimer immédiatement, dans le cas général, en 

 fonction du paramètre t et de trois fonctions arbitraires de ce paramètre; 

 cela peut se faire d'une infinité de manières; le choix du paramètre et des 



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