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géométrie. — Sur les surfaces dont les lignes de Vune des courbures soni 

 sphe'riques ; par M. J.-A. Serret. 



« Soient x, y, zdes coordonnées rectangulaires et a, b, e, r, l des fonc- 

 tions d'un paramètre t, dont la dernière l contient le facteur \J — i. Si l'on 

 pose dz = pdx -+- qdy, l'équation différentielle des surfaces dont il s'agit 

 sera le résultat de l'élimination du paramètre t entre les deux équations 



(i) {x-ay + {y-by + {z-cy = r*-l\ 



(u) -{x-a)p-{y — b)q+ {z-c) =l^-i-p*-u\ 



Soient x , ' y , z , v quatre fonctions inconnues de t, assujetties à vérifier 

 les équations 



(3) (x - af + ( Jo - bf + (z - cf + (v - l)> = r\ 



ir\ dx " — dfo — dz ° — dv " 



et posons 



(5) Y = (x - a )(x-a) + (jr -b){r-b) + {z -c)(z-c)-l(» - /)->■». 



» Il est aisé de s'assurer que l'équation V — o satisfait à l'équation (a) ; 

 elle sera donc une intégrale complète de celle-ci, si les valeurs de x , y , 

 z , v tirées des équations (3) et (4) renferment dans leurs expressions deux 

 constantes arbitraires. Si, en outre, on exprime les deux constantes dont il 

 s'agit en fonction d'un paramètre et d'une fonction arbitraire de ce para- 

 mètre, l'intégrale générale de l'équation (2) sera le résultat de l'élimination 

 de 9 entre les deux équations 



(6) V=o, £ = 0. 



» Enfin l'équation intégrale des surfaces dont nous nous occupons sera 

 le résultat de l'élimination de t et Q entre les équations (1) et (6). 



» Soient a, , b, , c, , /, et u cinq fonctions de t , choisies de manière 

 que l'on ait 



(7) a\ + b\ + c\ +/» = !, 



( 8 ) da — rud — ■> db = rud — » de = nid —•> dl= rud- ■> 



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