( III ) 



Pour intégrer cette équation, posons 



z = fi sin if udf; 

 substituant et différentiant par rapport à y , il viendra 



d'u rf*« _ 



d'où 



« = \ [/(* + (r) ■+-/(* - '»] + ; [/ '(* + '» -/. (* - ?/)]« 



/ et /j étant deux fonctions réelles quelconques ; par conséquent 



a = f i sin ij^-UX* + i» -+-/(* - if)] -+- 1 [f t (x+iy)-f t {x-if)]\df, 



la fonction arbitraire de x qui entre dans l'intégrale devant être déterminée 

 par la condition que l'équation (i) soit satisfaite. 



» On se rappelle que l'on a pour les surfaces à aire minima 



(2) z = fco&if^[f(x+ir)+f(x-if)]+ ~[j\{x+if)- f t {x-if)^df, 



ainsi, en supposant que les fonctions / &X.f t soient les mêmes, la première 

 valeur de z se déduira de la seconde, en changeant, sous le signe /, cos// 

 en / sin if. 



» Si l'on cherche les lignes de courbure des surfaces représentées par 

 l'équation (1), en se rappelant l'équation générale 



d'z d 7 z 

 /rfjrV d ^~ d y + z dy _ 



\dx) T ' " rf'g dx • l — °' 



dxdy 



que nous avons obtenue (tome XXXVII, page 35o, des Comptes rendus), 

 on trouve 



± Y _ o ''[/> + '>)-/'(* -'»]-[/'■(*- '» +£*{* - '/)] * 



■y ? '•[/'(*+ 



1 



Or cette équation est aussi celle des lignes de courbure des surfaces à aire 

 minima. Nous pouvons donc conclure qu'à chaque surface à aire minima 

 correspond une surface ayant en chaque point la somme des deux rayons 

 de courbure principaux égale au double de la normale, et pour laquelle les 

 lignes de courbure sont respectivement parallèles à celles de la surface à aire 



