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 » On obtiendra donc ainsi sans difficulté une valeur de U renfermant 

 deux constantes arbitraires A et B ; la valeur de U étant connue, l'équa- 

 tion (16) donnera v K et on aura ensuite x,, j,, z, au moyen des équations 



(i 2 ),(.4)et(i5). 

 » Si l'on pose 



COS > COS [A COS V 



on pourra exprimer immédiatement les angles X, p., v; |, u, Ç; a, S, y; yj et e 

 en fonction du paramètre t et de la fonction arbitraire ^ \i) ; si l'on met 

 ensuite <b[t) et W (t) au lieu de ç(ïj) et + (*?), et que l'on désigne enfin la 

 quantité r par F(<), toutes les quantités qui figurent dans nos équations 

 pourront s'exprimer facilement au moyen du paramètre t et des quatre 

 fonctions arbitraires J{t), F{t), $(t). "V (t). Le problème que nous nous 

 étions proposé se trouve donc résolu dans toute sa généralité. Il reste 

 nombre de détails à examiner ; je les étudierai ailleurs. 



» Il faut remarquer un cas particulier qui, par sa nature, se distingue 

 essentiellement du cas général ; je veux parler du cas de r = o. En chan- 

 geant l en l \J— f, les équations (i) et (2) deviennent 



{x - a) 2 + (j - b) 2 + (z - c) 2 = l 2 

 - p{x-a)-q{j-b) + {z-c) = l sj 1 -f- p 2 + q 2 ; 



en éliminant l, il vient 



[(x - a) 4- p(z - c)] 2 +[{jr-b) + q{z- c)] 2 + [q{x - a) -p(j- b)] 2 = o, 

 et pour obtenir une surface réelle, il faut que l'on ait 



x — a + p(z — c) = o, (j~— b) -f- q(z — c) = o. 

 » Si donc M désigne l'expression (x — a) 2 -f- ( j — b) 2 -f- (z — c) 2 — l 2 , 



dt 



on aura —r = o, et notre surface, qui est alors représentée par les équations 



M = °' -dl = °i 



sera l'enveloppe d'une sphère mobile et variable de grandeur. Les lignes de 

 courbure sphériques sont ici des circonférences. 



» Si le cas de r = o échappe à notre analyse, les surfaces à lignes de 

 courbure circulaires n'en sont pas moins données par notre méthode 

 générale. Ces surfaces correspondent effectivement à l'intégrale complète de 



