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 l'équation (2) qui nous a servi de point de départ ; je dois même ajouter 

 que c'est par la considération à priori des surfaces à lignes de courbure 

 circulaires que j'ai été conduit à l'intégrale complète dont il s'agit. » 



géométrie. — Sur les surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont 

 planes; par M. J.-A. Serret. 



« Au moyen de la transformation dite par rayons vecteurs réciproques , 

 on passe immédiatement des surfaces dont les lignes de l'une des courbures 

 sont sphériques aux surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont 

 planes (*). La recherche de ces dernières surfaces, déjà faite par M. Ossian 

 Bonnet, est donc comprise implicitement dans ce qui précède; mais il n'est 

 pas sans intérêt de remarquer que cette recherche se ramène immédiate- 

 ment à l'intégration des équations (i3) de l'article précédent. Effective- 

 ment, jc, y, z désignant des coordonnées rectangulaires; a, S, y, u, l des 

 fonctions d'un paramètre t, si l'on pose dz = pdx -4- qdy, l'équation diffé- 

 rentielle des surfaces dont il s'agit sera le résultat de l'élimination du para- 

 mètre t entre les équations 



(1) .x cosa -+- ^"cosë -+- zcosy = u, 



(2) —pcosa — ^cosê + cosy = / yi -+- p* -+- q 9 . 



» Soient x t , y if z,, t>, quatre fonctions inconnues de t, assujetties à 

 vérifier les équations 



(3) jr,tosa +y, cosê -+- s, cosy = Iv, + «, 



l'équation V = o satisfera à l'équation (2) et elle en sera une intégrale 

 complète si les valeurs de x,,y t , z t , v, tirées des équations (3) et (4) ren- 

 ferment dans leurs expressions deux constantes arbitraires. Le problème 

 est donc ramené à l'intégration des équations (4), intégration qui se trouve 

 effectuée dans l'article précédent. » 



(*) Il suffit effectivement de supposer que les sphères qui contiennent les lignes de cour- 

 bures passent toutes par un même point, et de prendre ce point pour centre de transfor- 

 mation. 



