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 pour le moment j'ai surtout en vue un point d'histoire assez curieux. Je vais 

 montrer qu'une formule obtenue par Poisson dès 1 807 ( dans un Mémoire 

 imprimé au 14 e cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique : voir pages 334 

 à 338), aurait pu, j'allais dire aurait dû, conduire l'illustre auteur à la belle 

 intégrale qu'il n'a donnée qu'en 18 19, et qui dès lors s'offrait à lui comme 

 conséquence immédiate d'un calcul fort simple. 



» En substituant, en effet, des coordonnées polaires aux coordonnées 

 rectangulaires, puis effectuant une double intégration par rapport aux 

 angles, après avoir multiplié les deux membres par l'élément sphérique de 

 rayon 1, da, Poisson trouve que le produit du rayon vecteur et de l'inté- 

 grale double / 1 <p d<7 ne dépend plus que de l'équation à deux termes ren- 

 contrée d'abord par d'Alembert dans le problème des cordes vibrantes. 

 Poisson observe d'ailleurs que l'origine des coordonnées, d'où part le rayon 

 vecteur, est arbitraire. En divisant donc par [\v: l'intégrale ci-dessus, on aura 

 la moyenne des valeurs de <p correspondantes aux divers éléments de la 

 surface d'une sphère de rayon quelconque, ayant son centre en un point 

 quelconque de l'espace ; et pour en déduire la valeur même de <p en ce point, 

 il suffira de prendre le rayon infiniment petit. Cela étant, je présenterai le 

 calcul comme il suit, en en tirant la conclusion que Poisson a laissé échap- 

 per. 



» Dans la fonction tp de t, x, y, z qui vérifie l'équation (1), et qu'on 

 suppose continue et bien déterminée pour toutes les valeurs réelïes de x, 

 y, z, t, remplaçons x,y, z par x 4- p, y + f*., z -+- v , et désignons par $ la 

 valeur que <p prend alors, en sorte que 



• aef (f, x-hp, jr+\L, z + v). 

 L'équation (1) se change en celle-ci : 



^ ' *dt* ~ d~f + rffT 2 "*" W" 



» Substituons aux coordonnées rectangles p, ft, v des coordonnées po- 

 laires en faisant 



j3 = rcosa, [l = rsin a cos rç, v = rsin asinvj : 



r est naturellement ici le rayon vecteur mené du point (x,y, z) au point 

 {x -+- p, y -+- [x, z ■+- v). On a 



<I> = <p (f, x + rcos «,/•-+- rsin a cos 73, z ■+- rsin a sinrç ), 



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