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 mais il ne paraît pas qu'il y ait rien d'analogue au point de vue géomé- 

 trique . 



» J'ai été conduit à une autre espèce de surfaces réciproques qui satis- 

 font, comme celles de Monge, à la condition de réciprocité analytique, et 

 qui sont en outre liées par quelques propriétés géométriques assez remar- 

 quables. 



» Je fais 



x, = x 



P z y J*=J + qz, z,= iz y 1 -+- p* -f- ç 2 



i étant l'unité imaginaire \j—i é , c'est-à-dire je prends pour x { et y, l'a: et 

 Yy du point où la normale à la première surface perce un plan fixe choisi 

 pour celui des x,y, et pour z t la longueur de la normale multipliée par i. 

 De cette manière, à tout point réel de la première surface répond un point 

 imaginaire de la seconde, et réciproquement; ce qui n'empêche pas les 

 surfaces d'être dans bien des cas toutes les deux réelles. Ainsi, la première 

 surface étant un ellipsoïde et le plan des x, y étant le plan principal per- 

 pendiculaire à l'axe minimum, la seconde surface est un hvperboloïde à une 

 nappe, dont l'axe imaginaire est l'axe minimum de l'ellipsoïde et qui a pour 

 sommets sur les axes des x et des y les foyers des sections principales de 

 l'ellipsoïde, situées dans les plans des x, z et des -y, z. 

 » Des équations (2), on déduit 



x =X, +/),:•„ y=y l -J r q i z l , z = — iz, y/i ■+- p\ -f- q\. 



Ce qui montre d'abord que les surfaces sont réciproques par rapport à 

 l'expression des coordonnées de leurs points. 



» Voici maintenant quelques propriétés géométriques des surfaces dont 

 il s'agit. 



» i°. a, b, e étant les cosinus des angles formés par la normale à la pre- 

 mière surface avec les axes des coordonnées, et «,, b,, c, les cosinus des 

 angles analogues pour le point correspondant de la seconde surface, 

 on a 



d'où 



1 a , h 



C. = -j a. = -> (0. = -: 



c c r 



I n, . h, 



C — -, a = — > = — 



c, c, c, 



» 2°. Les lignes de courbure sont des lignes conjuguées dans les deux 



