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 » 3. On obtient une formule particulière, digne de remarque, eu posant 



?(*")= e- a ", 



où a désigne une constante, telle que la somme n + a soit positive. On a 

 alors 



<f (aa, ...a„_,) = e -a v ««.•••«—, 

 et il vient 



œ i a n — i 



r ... f e- { " + «> + --+ a "-- + a V««>--- a "--K:a:...ajrdxda,..<da n _ t 



Jo »'o 



i n — i 



ô / \ 2 1.2.3. . . (n — i) 



v ' (n-f-a)" 



» Cette formule peut être démontrée autrement; par exemple, au moyen 

 de développements en séries. D'abord en développant l'exponentielle 



g-a(/ra,... a„_, 



en série suivant les puissances de a, on prouvera que la formule est exacte 

 tant que la valeur absolue de a ne surpasse pas n. Remplaçant ensuite a par 

 a -+- h, et développant suivant les puissances de h, on étendra de proche en 

 proche la limite supérieure de a jusqu'à oo . La formule dont nous parlons 

 une fois établie, on en déduira, si l'on veut, une démonstration nouvelle de 

 l'équation (A) de Gauss : il suffira de prendre la différentielle à indice quel- 

 conque des deux membres et de faire ensuite a = o. 



» La constante a de notre formule peut être supposée imaginaire, pourvu 

 que la partie réelle de n -+- a soit positive. Je profiterai de l'occasion pour 

 faire observer que la constante k de la formule 



n-l 



R = -^={2n) 2 e- nk 

 V* 



admet de même des valeurs imaginaires. Dans le premier membre, où k 

 entre à la puissance n' ème , on peut prendre 



k" = p (cosô + \/— i sin 6), 



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