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 sixième ordre ; mais, malgré tous les soins de l'auteur, ce travail ne peut 

 être consulté qu'avec défiance, car mon ami M. Houel y a découvert un 

 assez grand nombre de fautes, qu'il a signalées dans sa Thèse présentée à la 

 Faculté de Paris en 1 855. 



» La source des difficultés du problème est facile à saisir. L'application 

 de la série de Taylor ramène aux développements des puissances de x, y 

 définies par les équations 



r = a(i + *), 



v= l+y, 



l désignant la longitude moyenne, et v la longitude vraie; et après la sub- 

 stitution de ces développements dans des formules compliquées, il reste à 

 transformer en sommes des produits de lignes trigonométriques (*). Or 

 routes ces séries sont pénibles à former, la loi des coefficients est totalement 

 cachée, les substitutions sont laborieuses, les fautes de calcul extrêmement 

 probables et fort difficiles à découvrir. 



» Trouver une méthode qui évite la formation des puissances de x, r ; 

 ramener à des opérations algébriques extrêmement simples, sinon rapides, 

 la recherche des termes correspondants à un argument donné et à un ordre 

 donné : tels sont les problèmes qui m'ont paru dignes d'attention, tant à 

 cause de leur importance analytique que de leur utilité astronomique. 



» J'en ai trouvé la solution en étudiant un travail peu connu de 

 M. Cauchy. L'illustre géomètre a montré, dans les Comptes rendus de 

 1840, qu'on peut ramener rigoureusement à des intégrales simples les 

 intégrales doubles qui se présentent dans la recherche d'un terme d'ar- 

 gument donné. Les unes qu'il désigne par A y - sont analogues aux b[ l) de 

 Laplace, les autres appelées N f , A> t sont données par l'équation 



Nr '*'' = ?kX; S " e ' a "~ K ( e "^ + e ~" ^)* ( e """' - e-^-'Y 



du, 



où t, k, l sont des nombres entiers et positifs, à l'exception du premier qui 

 peut être négatif. On en trouve l'expression en termes finis sans difficulté. 

 » En examinant attentivement la méthode de M. Cauchy, on voit qu'elle 

 est au fond un procédé de développement applicable à toutes les fonctions 

 qui peuvent s'exprimer en séries de termes proportionnels aux sinus et co- 



(*) Voir un Mémoire de M. Le Verrier dans la Connaissance des Temps pour i844- 



