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» On peut, au moyeu de ce qui précède, trouver une surface à aire mi- 

 nima, d'après l'une des conditions suivantes : 



» i°. Connaissant une de ses lignes géodésiques; 



» 2 . Connaissant une de ses lignes asymptotiques; 



» 3°. Connaissant une de ses lignes de courbure. 



« En effet, dans chacun de ces cas, on connaît les directions que doivent 

 avoir les normales à la surface tout le long de la ligne donnée. Dans le pre- 

 mier cas, les normales à la surface sont les normales principales de la ligne 

 donnée; dans le second cas, les normales à la surface sont les binormales de 

 la ligne donnée; enfin, dans le troisième cas, les normales à la surface sont 

 l'un des systèmes de normales à la ligne donnée qui forment une surface 

 développable. 



» Faisons quelques applications. 



» Cherchons, en premier lieu, la surface à aire minima qui admet pour 

 ligne asymptotique une hélice donnée. Supposons le cylindre sur lequel 

 l'hélice est tracée parallèle aux ? ; représentons sa base par l'équation 



<7 = f(x), 



où a désigne l'arc de la courbe compté à partir d'une origine fixe, et x 

 l'angle que la tangente prolongée du coté des a négatifs fait avec l'axe 



des |; enfin, appelons O l'angle que les tangentes à l'hélice font avec 



l'axe des £; nous trouverons sans difficultés pour la surface cherchée 



? = snk?* ^ x f. '(/ ~ ■*»)! + ? i* - <(j - jo) J}, 



j dépendant de $ par la condition tang - o = e/° 



» Cherchons, en second lieu, la surface à aire minima qui admet potir 

 ligne de courbure une ligne plane donnée. 



» Supposons la courbe donnée dans le plan des (£, rj), et représentons-la 

 par l'équation 



o- — <p(.r), 



où 9 désigne l'arc de la courbe compté à partir d'une origine fixe, et x l'angle 

 que la normale à l'extrémité de a fait avec l'axe des£, on aura, pour l'équa- 

 tion de la surface cherchée, 



s = 



2 COS 



asM& e $ ftff ~ f°ft n'f te-^ &£ " fifMJ? 



y étant une constante arbitraire. 



