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 rier, et si, tandis qu'il varie, le premier membre de l'équation (i) reste 

 fonction continue de z, u et a, la racine simple « restera généralement fonc- 

 tion continue de z, jusqu'à l'instant où, une seconde racine devenant égale 

 à la première, l'équation (i) acquerra des racines multiples. 



» Une remarque importante à faire, mais qui n'était pas énoncée dans 

 mon Mémoire, c'est qu'on peut établir une relation entre le paramètre a et 

 la variable imaginaire z. On peut supposer, par exemple, que cette variable 

 représente l'affixe d'un point mobile qui décrit une courbe dont la forme 

 change avec ce paramètre. On peut même supposer que le premier membre 

 de l'équation (i) est fonction des seules variables zetu, z étant fonction 

 de a. 



» En partant de cette remarque, on parvient à un autre théorème que 

 M. Puiseux a énoncé dans les termes suivants : 



» Soit f (m, z) une fonction entière de « et de variable imaginaire z. Le 

 point Z (dont l'affixe est z) allant de C en K soit par le chemin CMK, soit 

 par le chemin CNK, la fonction u qui avait en C la valeur b, acquerra dans 

 les deux cas la même valeur h, si l'on peut, en déformant la ligne CMK, la 

 faire coïncider avec la ligne CNK, sans lui faire franchir aucun point pour 

 lequel la fonction u devienne infinie ou égale à une autre racine de l'équa- 

 tion 



f (u, z) es o. 



» Les nouvelles recherches de divers géomètres, particulièrement de 

 MM. Briot et Bouquet, ont fait ressortir toute l'importance de ce beau 

 théorème^ dont l'auteur lui-même avait déjà su tirer un parti si avantageux 

 dans ses Mémoires. Pour ce motif, il m'a semblé qu'il ne serait pas inutile 

 de donner du théorème de M. Puiseux une démonstration très-simple qui 

 se déduit de la considération des compteurs logarithmiques. Tel est l'objet 

 de la présente Note, dans laquelle je montrerai d'ailleurs comment le même 

 théorème peut être étendu à des fonctions implicites déterminées par un 

 système d'équations simultanées. 



analyse. 



» Je commencerai par établir la proposition suivante : 



» I er Théorème. Soient 

 z l'affixe d'un point mobile P ; 

 c l'affixe d'un point déterminé C ; 

 /• le rayon d'une circonférence de cercle KLM tracée dans le plan des 



affixes, et ayant pour centre le point C; 

 u<>v deux fonctions de z, dont le rapport se réduise à l'unité pour z = c, 



