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 une fonction des variables z et u, qui s'évanouisse pour les valeurs 



z = z, u = u 



de ces deux variables, et qui, dans le voisinage de ces valeurs, soit mono- 

 drome par rapport à z, monodrome et monogène par rapport à u. Si la 

 fonction dérivée 



D„ U, ; 



acquiert pour z = z, u — u une valeur finie et distincte de zéro, on pourra 

 satisfaire à l'équation 



(3) U=o 



par une valeur de u qui, se réduisant à u pour z = z, sera, pour une va- 

 leur de z voisine de z, fonction monodrome de z. 



Démonstration. U étant monodrome et monogène par rapport à u, 

 quand z et u diffèrent très-peu de z et u, sera, dans cette hypothèse, déve- 

 loppable suivant les puissances ascendantes de u — u, et si l'on représente 

 par ^la somme des deux premiers termes du développement, on aura 



(4) f = f(u,z) + (K-u)F(u, z); 



F (u, z) pouvant être ou la dérivée de f («, z) relative à u, ou, ce qui re- 

 vient au même, une fonction déterminée par la formule 



(5) F(a,z)= f( "' z) - f(u '" z) , 



de laquelle on tire, pour u = u, 



(6) F{u,z) = T> u U. 

 Si maintenant on pose 



(7) «= u — 8 „, S 



w ; F(u, z) 



la formule (4) donnera 



(8) ^=(i-«)f(u,z), 

 et, eu égard à la formule ( 5 ), on trouvera 



U = ((u, z) = f(u, z) -f- (u — u)F(«, z) 



(9) ' =[--«^i] '<»">■ . ■* 



