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 par la formule 



(12) 11 = 11 — -},' \ , 



* ' F(u, «) 



pourra être considérée comme une valeur approchée de la première, et 

 sera précisément la valeur de u déduite de l'équation (3) par la méthode 

 d'approximation linéaire ou newtonienne. Enfin la propriété qu'aura la 

 racine m de l'équation (3) de varier infiniment peu quand z passera de la 

 valeur z à une valeur infiniment voisine, subsistera encore, et pour les 

 mêmes motifs, quand la nouvelle valeur de z recevra un accroissement in- 

 finiment petit A z. Donc la racine u de l'équation (3) sera, sous les condi- 

 tions énoncées dans le théorème II et pour des valeurs de z très-voisines de z, 

 une fonction monodrome de la variable z. 

 Corollaire. Si la fonction 



U=î(u,z) 



est non-seulement monodrome, mais aussi monogène par rapport à z, et 

 si d'ailleurs la fonction donnée 



conserve une valeur finie pour z = z, « = u, alors la fonction de z à laquelle 

 se réduira la racine u de l'équation (3) aura pour dérivée une fonction 

 monodrome et finie de z déterminée par la formule • 



(i3) B z u = 



T>,U 



et sera, par conséquent, une fonction non-seulement monodrome, mais 

 aussi monogène. On peut donc énoncer la proposition suivante : 

 » III e Théorème. Soit 



U = f{ Uj z) 



une fonction des variables z et «, qui s'évanouisse pour les valeurs 



z = z, u = u 



de ces deux variables, et qui, dans le voisinage de ces valeurs, soit mono- 

 drome et monogène par rapport à chacune des variables z et u. Si les fonc- 

 tions dérivées 



T> z U,V U U 



acquièrent, pour z = z, u = u, des valeurs finies dont la seconde soit dis- 



