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 tincte de zéro, on pourra satisfaire à l'équation 



U=o 



par une valeur de u, qui, se réduisant à u pour z = z, sera, pour une valeur 

 de z voisine de z, fonction monodrome et monogène de z. 

 » Lorsque la fonction 



U=f(u, z) 



est une fonction entière ou même rationnelle des variables z et «, elle ne 

 cesse jamais d'être monodrome et monogène par rapport à ces deux va- 

 riables. Donc alors la racine u de l'équation (3) est, sous les conditions énon- 

 cées dans les théorèmes II et III, une fonction monodrome et monogène 

 de z, ce qui entraîne évidemment le théorème de M. Puiseux. 



» Au reste, les théorèmes II et III sont compris, comme cas particulier, 

 dans deux théorèmes généraux que l'on peut énoncer comme il suit : 



» IV' Théorème. Soient 



z, u, v, IV,..., 

 n + i variables, dont l'une z reste indépendante, les n autres 



u, v, w,..., 

 étant liées à z par n équations, 



(i4) u=o, r=o, rv=o,..., 



dont les premiers membres 



représentent des fonctions de 



Z, U, V, w,..., 



monodromes par rapport à z, monodromes et monogènes par rapport à 

 m, v, iv,.... Supposons d'ailleurs que, pour les valeurs particulières 



z, u, v, w,... 

 des variables 



Z, U, V, w,..., 

 chacune des dérivées comprises dans le tableau 



T> U U, B V U, D W U,..., 



, \\v, d v v, n„r,..., 



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