o> ) 



MEMOIRES PRESENTES. 



GÉOMÉTRIE. — Mémoire sur la théorie géométrique des lignes à double 

 courbure; par M. Paul Serret. (Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires, MM. Chasles, Bertrand.) 



« La théorie des lignes à double courbure , telle qu'elle résulte aujour- 

 d'hui des travaux de Monge et de plusieurs géomètres contemporains , 

 comprend deux études distinctes. 



» La première, qui constitue en quelque sorte l'anatomie de ces lignes, 

 a pour objet la recherche des propriétés que présente en chacun de ses 

 points une ligne à double courbure quelconque , et pour résultat des for- 

 mules nombreuses exprimant les diverses relations de grandeur et de po- 

 sition qui existent entre les éléments correspondants de la ligne considérée, 

 du lieu des centres de courbure , de la ligne de striction de la surface 

 gauche des normales , et de l'arête de rebroussement de la surface polaire. 



» Dans la seconde, on considère, dans toute leur étendue, la ligne à 

 double courbure primitive et chacune des lignes qui en dérivent ; les déve- 

 loppées de cette ligne; la nature des surfaces, gauches ou développables , 

 formées par des normales principales, par les droites polaires ou recti- 

 fiantes, etc. A cette seconde étude, enfin, se rattache essentiellement la 

 recherche des lignes à double courbure qui , considérées dans toute leur 

 étendue , jouissent en chacun de leurs points d'une même propriété , mé- 

 trique ou descriptive; le résultat de cette recherche étant la définition géo- 

 métrique de chacune de ces lignes, d'après cette propriété. On voit que ce 

 dernier problème, qui a pour objet, pour ainsi dire, de reconstruire d'une 

 seule pièce une ligne à double courbure d'après les propriétés qu'elle présente 

 en l'un de ses points, est l'inverse du premier qui adule précéder, et 

 qui devrait lui fournir les éléments de cette reconstruction. Il présente 

 d'ailleurs de bien plus grandes difficultés, et n'a été abordé que beaucoup 

 plus tard, et dans ces dernières années, par un petit nombre de géomètres, 

 parmi lesquels nous citerons M. Serret, qui a résolu, par une méthode ana- 

 lytique très-élégante , plusieurs des questions que nous aurons à étudier 

 géométriquement; M. Puiseux , qui a fixé le premier la nature des lignes 

 dont les deux courbures sont constantes, et M. Bertrand , à qui l'on doit 

 plusieurs propositions importantes conduisant à la classification des surfaces 



