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sont remplies d'elles-mêmes quant à ce qui concerne les coefficients des dif- 

 férentielles dx, dy,..., dz comparés entre eux. Restent les conditions qui 

 naissent de la comparaison de ces coefficients avec celui de dt ; or elles peu- 

 vent aisément s'écrire ainsi : 



da ~~ °' da ~~ °'""' da ~~ ' 



et, par conséquent, elles reviennent à dire avec nous que a ne doit plus en- 

 trer dans les fonctions X, , Y, ,..., Z,. 



» On comprendra la liaison de notre théorème avec les belles recherches 

 de Jacobisur la mécanique, en observant que les équations 



c/X, dY, rfZ, 



da du da. 



peuvent être remplacées par une condition unique, à savoir que la quan- 

 tité 



„, cPS <PS dS d>S dS d'S rfS 



^--r-T--r +•••+ -7-7-3-' 



dtda dxda dx dyda dy dzda dz 



qui peut être mise sous la forme 



1 -d*idt + *\dx) + *\d r ) +---+ ■>. \dt) y 



ne contienne plus x, y,..., z, et se réduise à une simple fonction de t et 

 de a. 



» Remarquons en passant que si les équations dont nous parlons, sans 

 avoir lieu en général, étaient vérifiées par une valeur particulière de a, ou, 

 ce qui revient au même, si T contenant en général x, y,..., z et t se rédui- 

 sait pour a = a t à une simple fonction de t, notre théorème subsisterait 

 pour cette valeur particulière a». 



» Je n'ai pas besoin d'ajouter que si d'autres constantes |3, 7,..., distinctes 

 de a, disparaissaient aussi dans le passage de X, Y,..., Z à X, , Y, ,..., Z, , 

 cette circonstance fournirait de nouvelles intégrales, et même quelquefois 

 toutes les intégrales qu'on a à chercher. Mais il est bon d'observer qu'on 

 peut tirer le même parti du cas où une des variables t, x,y,..., z vient à 

 manquer dans X, , Y ( ,•••> Z,. Si, par exemple,^ disparaît dans ces fonc- 

 tions, vous remplacerez dans l'expression des facteurs P, Q,..., R la dériva- 

 tion relative à a par une dérivation suivant y. Ce cas, du reste, se ramène à 

 celui où c'est un paramètre qui a disparu, en ajoutant à la variable une con- 



