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Posons 



X* dx 



/ _ ; = a, xz=sma, yi — x' = cosa, 



et de même 



r r dy 



J o Jfr^ = P' J=sin|3, y/i- j*=cosf3. 



Nous aurons 



da-h dfi = o, 

 d'où 



a + j3 = 7, 



7 étant une constante. D'ailleurs, pour a = 6, on a 



x = o, p = y, ^=siny. 



La constante de notre intégrale est donc siny. Par suite, il vient 



siny ou sin(ee ■+■ /3) = sinacos/3 -4- sin^cosa. 



C'est la formule fondamentale de la théorie des fonctions circulaires. 



» Le même procédé s'applique facilement à la recherche de l'intégrale 

 d'Euler qui donne la formule fondamentale de la théorie des fonctions 

 elliptiques. 



» Soit, en effet, 



dx dy 



, , = H" , ; = O. 



yi — x' yi — c 2 x 2 v 1 — .r'v 1 — c7 x* 



En multipliant parle produit des dénominateurs et divisant par 1 — c 2 x 2 j 2 , 

 on a 



/\ll—y 7 \]i — c'y 7 , C\l i — x' 1/1 — c 7 x~ j 

 2 , , , dx-h I- t~z—, — -dr = constante. 

 1 — c» x 7 y 7 J i — c 7 x 7 y 7 J 



Or, en intégrant le premier terme par parties , on obtient 



/y/] — y 7 sjt — c 7 y 7 , x \/i — y'v' 1 — c 'y 7 

 i — c'a; 2 / 2 " 1 — c 7 x 7 y 7 



/{i-\- c 7 ){i + c 7 x 7 y 7 ) — lc 7 x 7 ~ 7.c 7 y 7 rfj- 



W ' (i-c>x>yy ~ jTzrpfrirïy-* 



C. R., i856, i« Semestre. (T. XLII, N° 21.) 



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