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 J'ai reconnu que ces dernières surfaces avaient leurs lignes de courbure 

 planes, de telle sorte que les surfaces imaginaires dont tous les points sont 

 des ombilics constituent une nouvelle classe de surfaces à lignes de cour- 

 bure planes, qu'il faut joindre à celles que j'ai fait connaître dans un Mé- 

 moire présenté à l'Académie le 10 janvier i853. 



» x, y, z étant des coordonnées rectangles, posons 



dz _ dz _ ePz _ d'z d'z _ 



dx~P' dP~ < f' dT'~ r ' l^dy — *\ dj' =t - 



L'équation qui détermine les rayons de courbure principaux sera 



[rt-s 2 ) R 2 - V J 4-/> 2 H- q 2 [{i + p 2 ) t-ipqs+{i-hq 2 ) r] R+(i -+- p 2 +f) 2 = o; 



et si l'on veut que tous les points de la surface soient des ombilics, c'est-à- 

 dire que les rayons de courbure principaux soient partout égaux et de même 

 signe, il faudra que 



[(i +p')t- ■±pqs+(i + q 2 )r] 2 = k(rt-s 2 )(i+p 2 + q 2 ) 2 , 

 que l'on peut écrire 



[ (l+ ^ )r _ (l +^ ) , +2 ^( T ^L î _^] 2 + 4f. + ^+<7 ï )(^-^) 2 =o, 

 ou bien 



[(,+ 7 2 )r-(i+^-^7(^-^)J + 4(i + /> ï +9 a )(^-;-^=o. 

 De là on tire, soit 



soit 



( I +f)r-(i+p*)t=-z {l+ fl S - p<fr ( P q±i S ! l - + -p> + q>), 



les signes allant ensemble évidemment. 

 » Ainsi, posant pour simplifier, 



{a) (i+q 2 )s- pqt = M, (i + 9 2 )/--(i+/) 2 )f = N, -{\-hp 2 )s+pqr=P, 



on a, pour définir les surfaces considérées, l'une ou l'autre des équations 



(,) N=aM J»?T'V. ±g+j.'. 



« i + <jr- 



(0 N = aP ^±ivI±Z±I\ 



