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 Maintenant l'équation des lignes de courbure est 



M dy 2 -+-^dxdy -+■ Vdx 2 = o ; 



et comme N 2 = 4MP, on peut la remplacer par 



îMd , / + N^=o, 

 ou par 



iV dx + ^dy— o, 



c'est-à-dire, à cause des équations (i) et (i'), 



(a) (i - J rq 2 )dy + (pq q: i V 1 + P 2 + <7 2 ) dx = o, 



(2') (1 -+■ p 2 )dx + (p? ±: ï'v/i +/3 a + ç a ) <// = o. 



D'ailleurs, a cause des égalités (a), on a 



dpdx -\- dq dy = o. 

 En effet, des égalités (a), on tire 



Mr+ P< — ~Ns = o. 



Or 



N dy P rf^ : 



donc 



2 rfx ' M rfx a ' 



refo: 2 + 2iÉfaj(^+ < dy 1 = ou dp dx -+- dq dy = o. 

 Cela posé, les équations (2) et (2') donnent 



(1 + q')dp- {pq+ iy/i+p*-i-q*)dq = o, 

 (1 4- p 2 )dq — (pq ± i\ji 4- p 1 ■+- q 2 ) dp = o. 

 Ajoutant à la première la seconde multipliée par 1, il vient 

 [1 ■+■ q 2 ± \J 1 -h p 2 -h q 2 — ipq]dp-hi \\-\- p 2 ±\l î-\- p 2 + q 2 + ipq\dq = o, 

 ou 



dp ■+■ idq _ p dp -f- q dq 



Intégrant, on a 



P + ' f / I +/> 2 + <7 J ± s/l-hp' + q' 



p-h iq = c(j ±.\Ji -+-/r + q 2 ), 



C. R. i856, 1 er Semestre. (T. XL1I, N° 22.) l4° 



