( io85 ) 



où V désigne une fonction de t, x,y,..., z, x', y',-..', z', jouissent d'un 

 grand nombre de propriétés remarquables, et offrent des facilités particu- 

 lières pour l'intégration. Deux intégrales d'un tel système étant connues, 

 on pourra quelquefois en déduire une troisième, une quatrième, arriver 

 même à obtenir ainsi toutes les intégrales du problème. Dans certains cas 

 où le procédé que nous rappelons ne réussirait plus, on peut tirer un autre 

 parti des intégrales déjà trouvées. M. Bour a sur ce point beaucoup ajouté 

 aux ressources dont les géomètres disposaient avant lui. Je pense donc faire 

 une chose utile en indiquant un moyen très-simple de ramener à la forme 

 ci-dessus un système donné quelconque d'équations différentielles simulta- 

 nées. A la vérité, il faut augmenter pour cela le nombre des variables et 

 par conséquent le nombre des équations, mais cet inconvénient sera souvent* 

 plus que compensé par les commodités qu'offrira la forme canonique dont 

 nous parlons. 



» Considérons donc un nombre quelconque d'équations différentielles 

 d'ordres quelconques entre un nombre égal de fonctions ou d'inconnues 

 qu'elles doivent déterminer et une variable indépendante t. On réduira 

 d'abord ce système à un autre où toutes les dérivées seront du premier 

 ordre en ajoutant, s'il le faut, comme inconnues nouvelles, les dérivées 

 successives des inconnues anciennes jusqu'à l'ordre inférieur d'une unité à 

 celui qui figure dans les équations données. Cela fait, soit 



dx _ y d ? — v dz — 7 



dt — A ' dJ— *'••" Tt — L ' 



le système final que l'on a à traiter, et où X, Y,..., Z représentent des fonc- 

 tions de t et des inconnues tant anciennes que nouvelles x,j,..., z. Dési- 

 gnons par x', y,..., z' des variables auxiliaires conjuguées respectivement 

 à x, y,..., z, et pour la détermination desquelles nous introduirons un 

 nombre égal d'équations différentielles : je dis qu'on peut choisir ces équa- 

 tions, qui sont à volonté, de telle manière qu'en les joignant à celles que 

 nous venons d'écrire nous ayons un groupe canonique. Prenons à cet effet 



V = jc'X-h/Y+... + z'Z, 



ou plus généralement 



V = *'X + j'Y -K..-1-rfZ + ?(<,*,;,..,:), 

 et posons 



