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» I. Je prendrai pour point de départ le théorème suivant dû à M. Bonnet : 



» Si sur la surface d'une sphère, on trace une ligne fermée quelconque, 

 et qu'en chaque point de cette ligne, on mène un arc dé grand cercle tan- 

 gent égal à un quadrant, le lieu des extrémités de ces arcs partage la sphère 

 en deux parties équivalentes. 



» La démonstration donnée par M. Bonnet est fort simple, mais elle ne 

 s'applique pas facilement au cas où le contour donné est tel, que la courbe 

 fournie par la construction se compose de branches qui se coupent mu- 

 tuellement. 



» Je proposerai d'y substituer le raisonnement suivant : Soit ABCDEF un 

 polygone sphérique; supposons que l'on prolonge chacun des côtés AB,BC, 

 CD, . . . , et que l'on forme des triangles isocèles ayant pour angles les angles 

 extérieurs du polygone, et dont les côtés qui comprennent ces angles soient 

 égaux à un quadrant. En calculant la somme de ces triangles, et ajoutant 

 cette somme au polygone ABCDEF, on aura pour résultat quatre triangles 

 trirectangles, c'est-à-dire une demi-sphère. On voit tout aussi facilement, et 

 c'est l'avantage de ce mode de démonstration, que si le polygone a des 

 angles rentrants, le même résultat subsiste, pourvu que les triangles cor- 

 respondants soient retranchés au lieu d'être ajoutés. 



» De là on passe facilement au théorème de M. Bonnet, en considérant 

 le contour donné comme un polygone d'un nombre infini de côtés. 



» On doit observer, enfin, que si le contour proposé présentait un point 

 anguleux, il faudrait adjoindre à la courbe formée par les extrémités de 

 l'arc de grand cercle d'un quadrant tangent au contour donné, l'arc de 

 grand cercle décrit du point anguleux comme pôle, et terminé aux deux 

 arcs tangents en ce point, aux portions du contour qui s'y rencontrent. 



» II. On déduit du théorème précédent la proposition suivante, l'une des 

 plus importantes que contienne le Mémoire de Gauss : 



» Si sur une surface quelconque on considère un triangle ABC Jbriné par 

 trois lignes géodésiques, que par le centre d'une sphère on considère des 

 rayons parallèles aux normales menées à la surface par les différents 

 points du contour de ce triangle, les extrémités de ces rayons déterminent 

 sur la sphère un triangle dont la surface est égale à l'excès de la somme 

 des angles du triangle ABC sur deux droits. 



» Pour plus de netteté, nous supposerons que la surface donnée soit 

 une surface. convexe. Concevons par le centre delà sphère, des parallèles 

 aux diverses tangentes menées aux côtés du triangle ABC, en chaque point 



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