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 de son contour; les extrémités de ces parallèles formeront sur la sphère 

 trois courbes MN, PQ, RS ; joignons NP, QR, SM, par des arcs de grand 

 cercle de manière à former un hexagone MNPQRS, dont trois côtés seront 

 des arcs de grand cercle, et les trois autres des courbes à double cour- 

 bure. Il est facile de voir que les six angles de cet hexagone sont droits. 

 Considérons, en effet, l'angle N par exemple ; le grand cercle tangent à MN 

 est parallèle au plan oscillateur de la courbe AB au point B, et le grand 

 cercle NP est lui-même parallèle au plan tangent de la surface ABC au 

 même point; ces deux grands cercles se coupent donc à angles droits. 



» Cela posé, si l'on applique à cet hexagone le théorème de M. Bonnet, 

 on obtiendra immédiatement la démonstration de la proposition énoncée; on 

 voit, en effet, que le contour qui, en vertu de ce théorème, partage la sphère 

 en deux parties équivalentes, se compose de neuf arcs de grand cercle et de 

 trois courbes à double courbure. Les neuf arcs de grand cercle correspon- 

 dent aux six sommets de l'hexagone et aux côtés NP, QR, SM, ils forment 

 trois triangles birectangles, dont les angles non droits sont respectivement 

 II — A, II — B, II — C; quant aux trois autres courbes qui correspondent aux 

 côtés MN, PQ, RS, ce sont précisément celles qui sont définies dans l'é- 

 noncé du théorème de Gauss , et en nommant T le triangle qu'elles forment, 

 on a, d'après le théorème de M. Bonnet, 



n-A + n-B+n-c + T = an, 



d'où 



T = A + B + C-n. 



» III. Si l'on trace sur une surface un contour fermé quelconque, on 

 nomme courbure totale de l'aire comprise dans ce contour, la portion de 

 la sphère comprise dans l'intérieur de la courbe, lieu des extrémités des 

 rayons parallèles aux normales menées à la surface par les points du contour 

 donné. 



» On voit tout de suite que la courbure totale d'un rectangle infiniment 

 petit formé par quatre lignes de courbure est égale à la surface da. d$ 

 de ce rectangle, divisée par le produit RR' des rayons de courbure de la 

 surface. On en conclut que la courbure totale d'une surface infiniment 

 petite quelconque est égale à l'aire de cette surface, divisée par le produit 

 des rayons de courbure au point considéré. D'après cela, si on considère 

 un triangle infiniment petit ABC formé par trois lignes géodésiques, on 

 aura deux expressions de la courbure totale, qui devront être égales entre 



