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 elles, 



• !^_ C = A + B-4-C-ri; 



mais, si l'on vient à déformer la surface sans altérer les longueurs des lignes 

 qui y sont tracées, le triangle ABC ne cessera pas d'être formé par trois 

 lignes géodésiques de la surface déformée. A + B-4-C — II ne changera 

 pas, non plus que surf. ABC; donc BB' doit rester constant. 



» Ainsi donc, quand on déforme une surface sans altérer la longueur des 

 lignes qui y sont tracées, le produit des rayons de courbure en chaque point 

 reste invariable. 



» IV. Connaissant l'expression de la courbure totale d'un triangle formé 

 par trois lignes géodésiques, on peut en déduire immédiatement celle de la 

 courbure totale d'un polygone formé par de pareilles lignes. Cette courbure 

 est mesurée par l'excès de la somme des angles sur autant de fois deux 

 droits qu'il y a de côtés moins deux. 



» Si l'on considère, sur une surface, deux lignes géodésiques infiniment 

 voisines, soient A une fonction proportionnelle à la distance qui les sépare, 

 et S la longueur de l'arc compté sur l'une d'elles, M. Gauss a montré que 

 l'on a 



£A - _L A 



rfS' 1 RR' ' 



» Pour démontrer ce théorème, il suffit de calculer la courbure totale 

 d'un rectangle infiniment petit compris entre les deux lignes géodésiques 

 et deux trajectoires orthogonales infiniment voisines, après avoir substitué 

 à ce rectangle l'hexagone que l'on obtient en remplaçant les deux trajec- 

 toires orthogonales par les lignes géodésiques menées tangentiellement à leurs 

 extrémités. 



» Je supprime la démonstration qui exige seulement les premières no- 

 tions de la théorie importante à laquelle M. Liouville a donné le nom 

 expressif de théorie de la courbure géodésique. 



» V. Si Ion considère sur une surface deux systèmes de courbes se 

 coupant orthogonalement et une ligne géodésique qui les rencontre, soient 

 MM' un arc infiniment petit de cette ligne et 0, Q' les angles qu'il forme 

 aux points M et M' avec deux courbes d'un même système; soient ds, ds' les 

 côtés du triangle rectangle MM'P dont MM' est l'hypoténuse, et les côtés 

 sont les courbes orthogonales menées par les points M et M'; on a, d'a- 

 près une formule importante de Gauss , interprétée géométriquement par 



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