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» En effet, i° faisons glisser la droite AB sur sa direction, de manière que 

 le point A vienne se placer en B; i a faisons-la pivoter autour du point B de 

 manière qu'elle prenne la position BC ; 3° faisons-la glisser sur sa nouvelle 

 direction de manière que le point B vienne se placer en C; 4° faisons- la pi- 

 voter autour du point C de manière qu'elle prenne la position CA ; 5° fai- 

 sons-la derechef glisser sur elle-même de manière que le point C vienne de 

 nouveau se placer en A; enfin 6° faisons pivoter la droite autour du point 

 A de manière qu'elle reprenne la position AB. Or cette position est identi- 

 quement sa position primitive ; donc la droite a nécessairement exécuté une 

 rotation entière, c'est-à-dire une somme de rotations partielles égale à quatre 

 angles droits. De là évidemment la somme des angles intérieurs égale à 

 deux droits. 



» Je ne m'arrête point à cette objection, qu'à la vérité la droite, consi- 

 dérée en quelque sorte comme matérielle, a bien pivoté autour d'un seul et 

 unique de ses points qui s'est transporté successivement de A en B, puis en 

 C, puis enfin est revenu en A, mais que ce point ne demeure pas en position 

 identique sur le plan de la figure, et que l'on n'aurait pas le droit d'ajouter 

 ainsi des angles dont les sommets sont différemment situés. Je ne m'arrête 

 point, dis-je, à cette objection ; car. si elle pouvait avoir quelque valeur, il 

 s'ensuivrait qu'on ne pourrait non plus considérer les trois angles inté- 

 rieurs du triangle comme faisant une somme unique égale à deux droits; en 

 un mot, l'énoncé même de la proposition serait un non-sens (i). C'est au con- 

 traire un avantage propre à notre manière de considérer les angles, de per- 

 mettre d'en placer le sommet et le plan partout où l'on veut dans l'espace. 

 En un mot, la question n'est pas de savoir, à ce qu'il me semble, si les so- 

 phistes de Socrate n'eussent rien trouvé à dire sur notre théorie, mais 

 simplement si elle est accessible aux intelligences les plus ordinaires, aux 

 notions les plus vulgaires du sens commun. 



» De là on déduit rigoureusement, comme tout le monde le sait, ce 

 que l'on nomme la théorie desr parallèles, au sujet de laquelle, dans ses 

 leçons modèles à l'École Normale, Laplace dit qu'elle laisse peut-être quel- 

 que chose à désirer du côté de la rigueur, mais que l'on doit en abandonner 

 la discussion aux métaphysiciens géomètres, du moins jusqu'à ce quelle ait 

 été suffisamment éclaircie. 



» Pouvons-nous, Messieurs, nous flatter d'avoir réalisé le vœu de Laplace? 



(i) L'angle, dit avec beaucoup de raison M. Poinsot, est un nombre et non une quantité* 



