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 les théorèmes généraux dus à M. Cauchy, on pouvait établir la condition 

 de convergence trouvée par Laplace beaucoup plus simplement qu'on ne 

 l'a fait jusqu'ici. C'est ce que je me propose de montrer dans cette Note. 



» Soient Ç une constante réelle donnée et z une variable réelle ou ima- 

 ginaire; l'équation transcendante 



(i) u — zsinw = £, 



a une infinité de racines qui dépendent de z et 'deux de ces racines devien- 

 nent égales, lorsque z prend une valeur telle que l'équation (i) puisse être 

 satisfaite en même temps que sa dérivée relative à u, savoir 



(a) i — z cosm = o. 



Cela posé, si le module de z reste inférieur au plus petit des modules qu'd 

 faudrait attribuer à cette variable pour que les équations (i) et (a) pussent 

 avoir une racine commune, celle des racines u de l'équation (i) qui se réduit 

 à Ç pour z = o, sera une fonction parfaitement déterminée de z ; et, d'après 

 un théorème de M. Cauchy, cette quantité u et les fonctions continues de 

 u seront développables en séries convergentes ordonnées suivant les puis- 

 sances croissantes de z. Lorsque z est réel, l'équation (i) coïncide avec celle 

 dont dépend la détermination des éléments du mouvement elliptique des 

 planètes, z est alors l'excentricité, Ç désigne l'anomalie moyenne et u l'a- 

 nomalie excentrique ; enfin l'anomalie vraie et le rayon vecteur sont des 

 fonctions continues de u. 



» Des équations (i) et (2), on tire 



(3) u — tangw = £, 



(4) z = — , 



v ' cos« 



et la question qui nous occupe se réduit évidemment à déterminer quelle 

 est celle des racines de l'équation (3 ) à laquelle répond le plus petit module 



de z. 



» Posons 



u = x -+- y\j — i> 



x et y étant deux variables réelles; l'équation (3) se décompose en deux 

 autres débarrassées d'imaginaires et que l'on peut comprendre dans la for* 

 mule suivante : 



-_, sin2x eV — e~v e y .+-<>-»/ 



(5) == = COS2.T H -j 



v / x — Ç 7. y 2 



