COMPTE RENDU 



DES SÉANCES 



DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 



SÉANCE DU LUNDI 16 JUIN 1856. 



PRÉSIDENCE DE M. IS, GEOFFROY-SAINT-HILAIRR 



MÉMOIRES ET COMMUNICATIONS 



DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE. 



théorie des nombres. — Sur la représentation des nombres entiers par 

 la forme quadratique x 2 -+- aj 2 -t- bz 2 -+■ abt 2 . Note de M. Lioitville. 



« La forme quadratique à quatre indéterminées, 



x 2 -+- a y 2 -t- bz 2 ■+■ abt 2 , 



jouit, comme on sait, de la propriété de se reproduire par la multiplication, 

 aussi bien que la somme de quatre carrés qui n'en est qu'un cas particu- 

 lier. Si l'on veut que cette forme, où nous supposerons a et b entiers et 

 positifs, a étant au plus égal à b, représente tous les nombres i, 2, 3, 

 4, etc., sept cas seulement seront possibles, savoir ceux de a = 1 et b = 1, 

 2 ou 3, et de a = 2, b = 2, 3, 4 ou 5. Les nombres 2 et 3 empêchent 

 d'aller plus loin; l'un d'eux au moins cesserait d'être exprimable par la 

 forme indiquée, si l'on prenait pour aoui des valeurs plus grandes. Le 

 premier cas [a = 1, b = 1) répond au théorème sur la décomposition des 

 nombres en quatre carrés au plus que Lagrange a démontré dans les Mé- 

 moires de V Académie de Berlin pour 1770. Le cinquième (celui de a = 2, 

 6 = 3), qui répond au théorème tiré d'abord par Jacobi de la théorie des 

 fonctions elliptiques, que tout nombre M est de la forme 



x 2 4- 2 y 2 4- 3z 2 + 6t 2 , 



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