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 se ramène au premier et vice versa, ainsi que je l'ai fait voir ailleurs (*). 

 On peut en dire autant du deuxième, du quatrième et du sixième : la déduc- 

 tion est même plus facile encore. Pour traiter le troisième cas et prouver 

 que l'équation 



M = x 2 +j 2 + 3z 2 -f lt* 



est toujours possible, on pourra se servir, pour ainsi dire sans y rien chan- 

 ger, de la méthode même que Lagrange donne pour le premier cas dans le 

 Mémoire cité plus haut. Cette méthode un peu modifiée fournirait aussi une 

 démonstration directe du théorème de Jacobi : elle s'appliquerait égale- 

 ment au deuxième, au quatrième et au sixième cas. Mais le septième et 

 dernier cas lui échappe : j'ai pu seulement en conclure que tout nombre ou 

 son double est de la forme 



JC 2 -4- 7.J 2 -+■ OZ 2 ■+■ lOt 2 . 



mécanique analytique. — Expression remarquable de la quantité qui, 

 dans le mouvement d'un système de points matériels à liaisons quelcon- 

 ques, est un minimum en vertu du principe de la moindre action. Note 

 de M. Lioitville. 



« Le principe de la moindre action n'est applicable que dans les systèmes 

 où l'intégrale des forces vives a lieu. Soient donc m, m', m",... les masses 

 des points matériels qui forment un système donné remplissant cette con- 

 dition, v, t/, v",... leurs vitesses, ^mv 2 la force vive totale, et U la fonc- 

 tion des forces. L'intégrale des forces vives pourra s'écrire 



^mc 2 = 2(U + K), 



K. étant une constante qui dépend de la force vive initiale. Nous supposons 

 cette constante déterminée, et nous suivons le système depuis son départ 

 d'une certaine position (i) jusqu'à son arrivée à une autre position (a). 

 Dans la position (i) la force vive est connue par hypothèse, et dès lors dans 

 la position (2), comme dans toutes les autres, elle peut se calculer au moyen 

 de la fonction des forces. 



» Soit ds l'élément décrit pendant l'instant infiniment petit dt par le 



(*") Journal de Mathématiques, cahier d'avril 1 84-5 , page 16g. 



