( "5. ) 

 Cela étant, et puisque déjà l'on a 



2 mds * = l * + l ' 2 + r ■+■ ■ ■ ■ * 

 le produit 



deviendra 



( 9 i + „" + „«» + . . .) (# + fi + £i + ...), 



par suite 



(»Z + «'/' -+- /2"/" 4- ■■■)* -+- ("/'- /«') 2 + {ni"- ln"f + («7" - /'«")*+ ..., 



ou enfin 



(</5) 2 -t- (ni - In') 2 -+- (ni" - In") '■+ («'/" - l'n"f -4- . . . . 



» Les carrés qui viennent après (dQ) a s'annulent tous si l'on pose 



l V l" 



D'après les valeurs de l, /', /",..., n, «', «",..., les équations que je viens 

 d'écrire sont des équations différentielles du premier ordre qui donneraient 

 par l'intégration les valeurs de a, /3,..., y en fonction de l'une de ces va- 

 riables, a par exemple. Or si vous les joignez à l'intégrale des forces vives, 

 vous aurez précisément ce que M. Hamilton nomme les intégrales intermé- 

 diaires des équations dijférentielles du second ordre, que la mécanique ana- 

 lytique fournit pour le mouvement du système de points matériels dont nous 

 nous occupons. Nos équations an premier ordre ne sont qu'en même nom- 

 bre que ces équations du second ordre : aussi contiennent-elles, outre la 

 constante K, les constantes arbitraires A , B, e»c., que S doit renfermer 

 pour fournir une solution complète de l'équation aux différences partielles 



l M d ® d0 V ,TT U\ 



(^ + ^ + -"- + r ^) +--- = 2(U+K). 



En les différentiant, et éliminant les constantes K, A, B, etc., on retrouve- 

 rait les équations du second ordre, telles que Lagrange les a données. C'est 

 ce qu'on pourrait vérifier sans peine; mais il est plus simple encore d'établir 

 directement nos équations du premier ordre par le principe même de la 

 moindre action, en profitant de la forme commode que nous venons de 

 donner à l'expression de la quantité 



V' 



a (U + R) 2 m ds*i 

 dont l'intégrale doit être un minimum, ou plutôt doit avoir une variation 

 nulle en vertu de ce principe. 



