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sera 



» On voit d'abord immédiatement que, si RR' est négatif, cette variation 

 seconde est toujours positive; ce qui démontre ce premier théorème que 

 j'ai établi autrement dans ma première Note : Dans une surface à cour- 

 bures opposées, une ligne géodésique est minima dans toute son étendue. 



» Appelons maintenant p la distance comprise entre la ligne AMR et 

 une autre ligne infiniment voisine partant du point A, de telle sorte que 

 l'on ait 



d 2 p p 



et p = o, -£■ = l'angle infiniment petit dd des deux lignes géodésiques, 

 pour s = o; l'expression (i) pourra se mettre sous la forme 



ci ^ \ a * y ci*°- 



Or, si p n'est pas nul entre les limites de l'intégration , 



■*£V 



car w s'annule aux limites : donc la variation seconde se réduit à 



c'est-à-dire à un résultat positif. J'en conclus que, tant que l'extrémité B 

 n'a pas dépassé le point A' où la ligne AMB est rencontrée par la ligne géo- 

 désique infiniment voisine partant du point A, l'arc AMB de ligne géodé- 

 sique est minimum entre le point A et le point B : c'est la première partie 

 du théorème de Jacobi. 



» Si le point B a dépassé le point A', on pourra choisir pour w, qui est 

 assujetti à la seule condition de s'annuler aux points A et B, une valeur qui 

 vérifie une équation de la forme 



rf'w / 1 I \ 



