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où k est réel, et qui soit telle, que m = o et — = dO pour s = o. Cela ré- 

 sulte de ce que, lorsque dans une équation de la forme 



ds' 



GP 



on fait diminuer G d'une manière continue, les racines de p = o vont en aug- 

 mentant d'une manière continue (p et -~ gardant les mêmes valeurs pour 



s = o\- Gela étant, on aura pour cette valeur particulière de w, 



„ <ù W 



U + RR 7 = ¥ 5 



arc 



mais, m étant nul aux limites, on a en outre 



/("*-£>)* = -/"(»•->•£)*! 



donc 



Ainsi la variation seconde de l'intégrale l ds peut devenir négative, et T 



AMB n'est ni maximum ni minimum entre le point A et le point B. La se- 

 conde partie du théorème de Jacobi est donc aussi établie. 



» Nous avons dit plus haut qu'une fois le théorème de Jacobi démontré 

 en toute rigueur, on pouvait donner plus de netteté aux énoncés des résul- 

 tats contenus dans la Note du 18 juin. En effet, on pourra dire que si, dans 

 une surface convexe, le produit RR' des rayons de courbure principaux est 

 moindre que la constante à 1 , le plus court chemin d'un point à un autre sur 

 la surface sera toujours moindre que tta. De là résulte que toute surface 

 convexe dont les rayons de courbure principaux ne deviennent jamais infinis, 

 est nécessairement fermée. » 



géométrie. — Note sur une surface dont les rayons de courbure, en 

 chaque point, sont e'gaux et de signes contraires ; par M. E. Catalan. 



■t 1 . Les surfaces qui jouissent de la propriété énoncée ont, comme Ton 

 sait, pour équation aux dérivées partielles, 



(i) {i + p*)t-\-(i-hq 2 )r — ipqs — o. 



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