(33 ) 



le théorème de Jacobi dans son entier. Je demande à l'Académie la permis- 

 sion de lui communiquer ma démonstration qui, tout en levant les difficultés 

 relatives à une question importante, permettra de donner plus de précision 

 aux résultats de mon premier travail. 



» Soit AMB (*) un arc de ligne géodésique partant du point A et aboutis- 

 sant au point B. Traçons une ligne quelconque AM,B infiniment voisine 

 de AMB et ayant les mêmes extrémités. Je vais d'abord évaluer la différence 

 de longueur des deux courbes AMB et AM, B en tenant compte des infini- 

 ment petits du second ordre ; pour cela, par les différents points de AMB, 

 je mène des lignes géodésiques normales à AMB, et j'appelle, en général, w 

 la portion de ces lignes comprise entre AMB et AM, B. Posant l'élément MN 

 de AMB égal à ds, et l'élément correspondant M, N, de AM,B égal à ds,, 

 on a 



M,N, = ds, = v/m ( F 2 + PN,\ 

 en appelant P le point de NN, tel, que NP = MM, ; mais 



PN, = ~ds = u'ds, 



as ' 



M, P est, d'après un théorème de Gauss, l'intégrale de l'équation 



(Pli u 



HZ* + RR 7 = ° 



qui, pour w = o, satisfait aux conditions u = ds, j-=o, par conséquent, 



M, P = ds ( i - 



2RR' ' 

 en négligeant les puissances de w, supérieures à la seconde; donc 



ou plus simplement 



avec le degré d'approximation que nous considérons. Cela étant, la diffé- 

 rence entre AM, B et AMB, c'est-à-dire la variation seconde de l'intégrale 



fds, 



(*) Le lecteur est prié de faire lui-même la figure. 

 C. R., i855, 2 me Semestre. (T. XLI, N° 1.) 



