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ou, ce qui est équivalent, à celle-ci : 



(8) z = / cos ' 



COS.T 



» 5. La surface représentée par l'équation (8) jouit de propriétés remar- 

 quables, que nous allons indiquer rapidement. 



» i°. La trace de la surface, sur le plan des xy, se compose d'une infi- 

 nité de droites inclinées à 45° et à i35° sur l'axe des x, et qui décomposent 

 le plan en une infinité de carrés égaux. 



» 2°. La surface admet un troisième système de droites. Celles-ci, per- 

 pendiculaires au plan des xy, divisent en deux parties égales les côtés des 

 carrés déterminés par les premières droites. 



» 3°. La section de la surface, par le plan des xz, se compose d'une infi- 

 nité de branches, toutes égales entre elles, représentées par 



z = — Icosx. 



Toutes ces branches, situées au-dessus de l'axe des x, le touchent aux points 

 déterminés par la formule x = zkn. Chaque branche a un axe de symétrie 

 perpendiculaire au plan des xy ; elle a aussi deux asymptotes situées de part 



et d'autre de cet axe, à la distance -• 



i 



» 4°- La section par le plan des yz est égale à la section par le plan 

 des xz; mais au lieu d'être, comme cette dernière, au-dessus de ce plan, elle 

 est située au-dessous. 



» 5° Les sections parallèles au plan des xz sont toutes égales entre elles. 

 Il en est de même pour les sections faites parallèlement au plan desyz. 



» 6°. La surface se compose d'une infinité de nappes égales. Chacune 

 d'elles est comprise tout entière entre quatre plans asymptotiques, formant 

 un canal à section carrée, de longueur indéfinie. Les arêtes de ces canaux 

 sont les génératrices parallèles à l'axe des z, dont il a été question ci-dessus. 

 On peut se représenter les sections droites de ces canaux comme un échi- 

 quier indéfini, dans lequel les cases noires répondraient aux canaux renfer- 

 mant des nappes de la surface, les cases blanches correspondant aux espaces 

 vides. 



» r°. Si l'on considère une nappe en particulier, par exemple celle qui 

 entoure l'axe des z, on reconnaît qu'elle a de l'analogie avec le paraboloïde 

 hyperbolique. En effet, la nappe dont il s'agit peut être engendrée par sa 

 seconde section principale, glissant parallèlement à elle-même et dont le 

 sommet décrirait la première section principale, etc. 



