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 ou de la forme 



z = V -\- wi 



u, i>, w étant des fonctions réelles dex,j, z. Cela posé, concevons que les 

 variables x, j" représentant deux coordonnées réelles, on construise : i° la 

 surface courbe dont l'ordonnée serait représentée par la fonction m ; 2° la 

 surface courbe dont l'ordonnée serait représentée par la somme v + w, les 

 axes coordonnés étant ou rectangulaires ou obliques. Ces deux surfaces 

 seront celles que M. Marie nomme la surface réelle et la conjuguée de la 

 surface réelle. Si, avant de résoudre l'équation caractéristique, on opère une 

 transformation de coordonnées, en assignant une direction nouvelle à l'axe 

 desz, on substituera ainsi aux variables J?,^, z, trois nouvelles variables a:,, 

 j-^, z, qui offriront toutes trois, pour des valeurs réelles de x,j et pour une 

 valeur imaginaire de z, des valeurs correspondantes imaginaires, dans les- 

 quelles les rapports entre les coefficients de i seront constants. Récipro- 

 quement, si l'on attribue à x^, y ^ des valeurs réelles, et à z, une valeur ima- 

 ginaire qui satisfasse, avec a*,, /,, à l'équation caractéristique transformée, 

 les valeurs correspondantes de x,y, z seront généralement imaginaires, 

 mais les rapports entre les coefficients de i dans ces dernières valeurs seront 

 constants. De cette observation il résulte qu'à une même surface réelle cor- 

 respondent, en nombre infini, des surfaces conjuguées, dont chacune a 

 pour coordonnées variables des valeurs réelles de x, j-, z que l'on obtient 

 en remplaçant i par i , dans des valeurs imaginaires de x, j, z assujetties à 

 la double condition de vérifier l'équation caractéristique, et d'offrir pour 

 coefficients de i des quantités dont les rapports demeurent constants. 



» Les surfaces conjuguées, définies comme on vient de le dire, jouissent 

 de propriétés remarquables, analogues à celles des courbes conjuguées. 

 Ainsi, en particulier, comme l'observe M. Marie, lorsqu'une surface con- 

 juguée est fermée et limitée en tous sens, le volume J^ compris dans cette 

 surface, et représenté par une intégrale double, reste généralement inva- 

 riable, tandis que l'on fait varier par degrés insensibles, ou entre des limites 

 quelconques, ou du moins entre certaines limites, l'inclinaison de l'axe 

 des z sur l'axe des x ou sur l'axe des j. D'ailleurs, le produit de ce volume J^ 

 par i est ce qu'on peut nommer U période imaginaire d'une certaine inté- 

 grale double. 



» En résumé, les Commissaires jugent que le Mémoire de M. Marie pré- 

 sente, sur les périodes des intégrales simples et doubles, des recherches 

 intéressantes qui ont conduit l'auteur à des résultats nouveaux, et qu'en 

 conséquence ce Mémoire mérite d'être approuvé par l'Académie. » 



Les conclusions de ce Rapport sont adoptées. 



