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ALGÈBRE, — Note sur la résolution de l'équation binôme x^ == i , p étant un 

 nombre premier; parM.. V.-A. Lebesgue. 



a Lemme. Si dans x" on met successivement pour x toutes les racines 

 X, x'^^ a;',..., x''~* de l'équation 



(i) xP~* + xP-^ +...-\- x^ -{- X + \-=o, 



la somme des résultats obtenus sera ^ — i si n, nombre entier, est multiple 

 de /J, et — I dans le cas contraire. 



» Cela résulte de ce que n, 2«, 3«,..., (/> — i)" divisés par p donnent 

 les restes i , 2, 3,. . . , /? — i . La somme sera donc 



X -h x'^ +...+ xP-' = — I . 



Ceci suppose n non divisible par/>; dans ce cas, chaque terme vaut i et la 

 somme p — 1 . 



» Théorème. La série x, ar^, a?',..., xP~* des racines de (1) peut être 

 remplacée par celle-ci, 



(2) X, xs,xs',...,xs'"\ 



g étant une racine primitive de p. 



» Chacun connaît la démonstration de ce beau théorème dû à M. Gauss ; 

 elle résuite de ce que les restes de i, g, g"^,-.-, g''~^ divisés par p sont, à 

 l'ordre près, 1,2, 3,...,/? — i. 



» Théorème fondamental. Si l'on représente par A, B, C, . . ., R les racines 



de l'équation (i) prises dans l'ordre (2), et qu'on fasse a*^' = i , on 



aura 



( (A + Ba + Ca='+Da»-l-...+ Ka^y-' 

 (3) 



où Pq, p,, Pa, etc., sont des nombres entiers connus, 

 n Démonstration. Soit 



a-hb-\-c-hd...= p— J,' 

 et prenons pour terme général du développement 



1.2.. .a'^j .2. . .b>(.i ,2. . .c. 



Sî du terme A''B*C''D''... nous déduisons par la permutation tournante 



